Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102843 / 100087
↖ ↑ ↗
← S 68.390078°
E102.466736°		 ← 112.48 m → S 68.390078°
E102.469482°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.391089°
E102.466736°		 ← 112.48 m →
12 648 m²		 S 68.391089°
E102.469482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784633636474609 y=0.763607025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784633636474609 × 217)
    floor (0.784633636474609 × 131072)
    floor (102843.5)     		tx = 102843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763607025146484 × 217)
    floor (0.763607025146484 × 131072)
    floor (100087.5)     		ty = 100087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102843 / 100087 ti = "17/102843/100087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102843/100087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102843 ÷ 217
    102843 ÷ 131072     		x = 0.784629821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100087 ÷ 217
    100087 ÷ 131072     		y = 0.763603210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784629821777344 × 2 - 1) × π
    0.569259643554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.78838191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763603210449219 × 2 - 1) × π
    -0.527206420898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65626781877256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78838191} λ = 1.78838191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65626781877256))-π/2
    2×atan(0.19084993912236)-π/2
    2×0.188582143868465-π/2
    0.37716428773693-1.57079632675     		φ = -1.19363204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78838191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.466736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19363204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.390078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102843 KachelY 100087 1.78838191 -1.19363204 102.466736 -68.390078
    Oben rechts KachelX + 1 102844 KachelY 100087 1.78842985 -1.19363204 102.469482 -68.390078
    Unten links KachelX 102843 KachelY + 1 100088 1.78838191 -1.19364969 102.466736 -68.391089
    Unten rechts KachelX + 1 102844 KachelY + 1 100088 1.78842985 -1.19364969 102.469482 -68.391089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19363204--1.19364969) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19363204--1.19364969) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78838191-1.78842985) × cos(-1.19363204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368285555037406 × 6371000     		do = 112.483888178537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78838191-1.78842985) × cos(-1.19364969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368269145550456 × 6371000     		du = 112.478876298842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19363204)-sin(-1.19364969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368285555037406-0.368269145550456)×R²
    abs(1.78842985-1.78838191)×1.64094869498088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64094869498088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64094869498088e-05×40589641000000     		ar = 12648.3233424834m²