Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102840 / 100103
↖ ↑ ↗
← S 68.406257°
E102.458496°		 ← 112.40 m → S 68.406257°
E102.461243°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.407267°
E102.458496°		 ← 112.40 m →
12 632 m²		 S 68.407267°
E102.461243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784610748291016 y=0.763729095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784610748291016 × 217)
    floor (0.784610748291016 × 131072)
    floor (102840.5)     		tx = 102840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763729095458984 × 217)
    floor (0.763729095458984 × 131072)
    floor (100103.5)     		ty = 100103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102840 / 100103 ti = "17/102840/100103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102840/100103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102840 ÷ 217
    102840 ÷ 131072     		x = 0.78460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100103 ÷ 217
    100103 ÷ 131072     		y = 0.763725280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78460693359375 × 2 - 1) × π
    0.5692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78823810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763725280761719 × 2 - 1) × π
    -0.527450561523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65703480916648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78823810} λ = 1.78823810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65703480916648))-π/2
    2×atan(0.190703615174077)-π/2
    2×0.188440958472814-π/2
    0.376881916945629-1.57079632675     		φ = -1.19391441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78823810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19391441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.406257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102840 KachelY 100103 1.78823810 -1.19391441 102.458496 -68.406257
    Oben rechts KachelX + 1 102841 KachelY 100103 1.78828604 -1.19391441 102.461243 -68.406257
    Unten links KachelX 102840 KachelY + 1 100104 1.78823810 -1.19393205 102.458496 -68.407267
    Unten rechts KachelX + 1 102841 KachelY + 1 100104 1.78828604 -1.19393205 102.461243 -68.407267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19391441--1.19393205) × R
    1.76399999998189e-05 × 6371000     		dl = 112.384439998846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19391441--1.19393205) × R
    1.76399999998189e-05 × 6371000     		dr = 112.384439998846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78823810-1.78828604) × cos(-1.19391441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368023017376677 × 6371000     		do = 112.403702419231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78823810-1.78828604) × cos(-1.19393205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368006615353182 × 6371000     		du = 112.398692819067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19391441)-sin(-1.19393205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368023017376677-0.368006615353182)×R²
    abs(1.78828604-1.78823810)×1.64020234955653e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64020234955653e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64020234955653e-05×40589641000000     		ar = 12632.1456500092m²