Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102840 / 100100
↖ ↑ ↗
← S 68.403224°
E102.458496°		 ← 112.42 m → S 68.403224°
E102.461243°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.404235°
E102.458496°		 ← 112.41 m →
12 634 m²		 S 68.404235°
E102.461243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784610748291016 y=0.763706207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784610748291016 × 217)
    floor (0.784610748291016 × 131072)
    floor (102840.5)     		tx = 102840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763706207275391 × 217)
    floor (0.763706207275391 × 131072)
    floor (100100.5)     		ty = 100100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102840 / 100100 ti = "17/102840/100100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102840/100100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102840 ÷ 217
    102840 ÷ 131072     		x = 0.78460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100100 ÷ 217
    100100 ÷ 131072     		y = 0.763702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78460693359375 × 2 - 1) × π
    0.5692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78823810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.52740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65689099846762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78823810} λ = 1.78823810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65689099846762))-π/2
    2×atan(0.190731042366365)-π/2
    2×0.188467423065826-π/2
    0.376934846131653-1.57079632675     		φ = -1.19386148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78823810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19386148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.403224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102840 KachelY 100100 1.78823810 -1.19386148 102.458496 -68.403224
    Oben rechts KachelX + 1 102841 KachelY 100100 1.78828604 -1.19386148 102.461243 -68.403224
    Unten links KachelX 102840 KachelY + 1 100101 1.78823810 -1.19387912 102.458496 -68.404235
    Unten rechts KachelX + 1 102841 KachelY + 1 100101 1.78828604 -1.19387912 102.461243 -68.404235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19386148--1.19387912) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19386148--1.19387912) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78823810-1.78828604) × cos(-1.19386148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368072232058011 × 6371000     		do = 112.418733849696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78823810-1.78828604) × cos(-1.19387912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368055830378148 × 6371000     		du = 112.413724354487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19386148)-sin(-1.19387912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368072232058011-0.368055830378148)×R²
    abs(1.78828604-1.78823810)×1.64016798628319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64016798628319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64016798628319e-05×40589641000000     		ar = 12633.8349547763m²