Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10284 / 6180
↖ ↑ ↗
← N 81.062544°
W123.508301°		 ← 94.89 m → N 81.062544°
W123.502808°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
N 81.061691°
W123.508301°		 ← 94.90 m →
9 002 m²		 N 81.061691°
W123.502808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156929016113281 y=0.0943069458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156929016113281 × 216)
    floor (0.156929016113281 × 65536)
    floor (10284.5)     		tx = 10284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943069458007812 × 216)
    floor (0.0943069458007812 × 65536)
    floor (6180.5)     		ty = 6180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10284 / 6180 ti = "16/10284/6180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10284/6180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10284 ÷ 216
    10284 ÷ 65536     		x = 0.15692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6180 ÷ 216
    6180 ÷ 65536     		y = 0.09429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.6861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15562650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09429931640625 × 2 - 1) × π
    0.8114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54909257419611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15562650} λ = -2.15562650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54909257419611))-π/2
    2×atan(12.7954875574458)-π/2
    2×1.49280230868618-π/2
    2.98560461737237-1.57079632675     		φ = 1.41480829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15562650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41480829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.062544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10284 KachelY 6180 -2.15562650 1.41480829 -123.508301 81.062544
    Oben rechts KachelX + 1 10285 KachelY 6180 -2.15553063 1.41480829 -123.502808 81.062544
    Unten links KachelX 10284 KachelY + 1 6181 -2.15562650 1.41479340 -123.508301 81.061691
    Unten rechts KachelX + 1 10285 KachelY + 1 6181 -2.15553063 1.41479340 -123.502808 81.061691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41480829-1.41479340) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dl = 94.8641900006413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41480829-1.41479340) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dr = 94.8641900006413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15562650--2.15553063) × cos(1.41480829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155356215524291 × 6371000     		do = 94.8896764357192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15562650--2.15553063) × cos(1.41479340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		du = 94.8986606327856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41480829)-sin(1.41479340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155356215524291-0.155370924720362)×R²
    abs(-2.15553063--2.15562650)×1.47091960705503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47091960705503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47091960705503e-05×40589641000000     		ar = 9002.05843430269m²