Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10284 / 14366
↖ ↑ ↗
← N 70.557836°
W123.508301°		 ← 203.30 m → N 70.557836°
W123.502808°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
N 70.556007°
W123.508301°		 ← 203.32 m →
41 346 m²		 N 70.556007°
W123.502808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156929016113281 y=0.219215393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156929016113281 × 216)
    floor (0.156929016113281 × 65536)
    floor (10284.5)     		tx = 10284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219215393066406 × 216)
    floor (0.219215393066406 × 65536)
    floor (14366.5)     		ty = 14366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10284 / 14366 ti = "16/10284/14366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10284/14366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10284 ÷ 216
    10284 ÷ 65536     		x = 0.15692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14366 ÷ 216
    14366 ÷ 65536     		y = 0.219207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.6861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15562650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219207763671875 × 2 - 1) × π
    0.56158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76426965361655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15562650} λ = -2.15562650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76426965361655))-π/2
    2×atan(5.83730754442578)-π/2
    2×1.40113143662543-π/2
    2.80226287325085-1.57079632675     		φ = 1.23146655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15562650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23146655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.557836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10284 KachelY 14366 -2.15562650 1.23146655 -123.508301 70.557836
    Oben rechts KachelX + 1 10285 KachelY 14366 -2.15553063 1.23146655 -123.502808 70.557836
    Unten links KachelX 10284 KachelY + 1 14367 -2.15562650 1.23143463 -123.508301 70.556007
    Unten rechts KachelX + 1 10285 KachelY + 1 14367 -2.15553063 1.23143463 -123.502808 70.556007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23146655-1.23143463) × R
    3.19199999998521e-05 × 6371000     		dl = 203.362319999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23146655-1.23143463) × R
    3.19199999998521e-05 × 6371000     		dr = 203.362319999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15562650--2.15553063) × cos(1.23146655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332855161233507 × 6371000     		do = 203.3038616628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15562650--2.15553063) × cos(1.23143463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33288526092056 × 6371000     		du = 203.322246183532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23146655)-sin(1.23143463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332855161233507-0.33288526092056)×R²
    abs(-2.15553063--2.15562650)×3.00996870525871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00996870525871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00996870525871e-05×40589641000000     		ar = 41346.2143350976m²