Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102837 / 98356
↖ ↑ ↗
← S 66.570116°
E102.450256°		 ← 121.45 m → S 66.570116°
E102.453003°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.571208°
E102.450256°		 ← 121.44 m →
14 747 m²		 S 66.571208°
E102.453003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784587860107422 y=0.750400543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784587860107422 × 217)
    floor (0.784587860107422 × 131072)
    floor (102837.5)     		tx = 102837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750400543212891 × 217)
    floor (0.750400543212891 × 131072)
    floor (98356.5)     		ty = 98356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102837 / 98356 ti = "17/102837/98356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102837/98356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102837 ÷ 217
    102837 ÷ 131072     		x = 0.784584045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98356 ÷ 217
    98356 ÷ 131072     		y = 0.750396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784584045410156 × 2 - 1) × π
    0.569168090820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.78809429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750396728515625 × 2 - 1) × π
    -0.50079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57328904553024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78809429} λ = 1.78809429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57328904553024))-π/2
    2×atan(0.207362036344915)-π/2
    2×0.204464315270338-π/2
    0.408928630540676-1.57079632675     		φ = -1.16186770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78809429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.450256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16186770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.570116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102837 KachelY 98356 1.78809429 -1.16186770 102.450256 -66.570116
    Oben rechts KachelX + 1 102838 KachelY 98356 1.78814223 -1.16186770 102.453003 -66.570116
    Unten links KachelX 102837 KachelY + 1 98357 1.78809429 -1.16188676 102.450256 -66.571208
    Unten rechts KachelX + 1 102838 KachelY + 1 98357 1.78814223 -1.16188676 102.453003 -66.571208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16186770--1.16188676) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16186770--1.16188676) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78809429-1.78814223) × cos(-1.16186770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397626520727037 × 6371000     		do = 121.445374336601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78809429-1.78814223) × cos(-1.16188676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397609032202212 × 6371000     		du = 121.440032890965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16186770)-sin(-1.16188676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397626520727037-0.397609032202212)×R²
    abs(1.78814223-1.78809429)×1.74885248249157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74885248249157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74885248249157e-05×40589641000000     		ar = 14746.9405181844m²