Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102834 / 98354
↖ ↑ ↗
← S 66.567931°
E102.442016°		 ← 121.46 m → S 66.567931°
E102.444763°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.569023°
E102.442016°		 ← 121.45 m →
14 748 m²		 S 66.569023°
E102.444763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784564971923828 y=0.750385284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784564971923828 × 217)
    floor (0.784564971923828 × 131072)
    floor (102834.5)     		tx = 102834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750385284423828 × 217)
    floor (0.750385284423828 × 131072)
    floor (98354.5)     		ty = 98354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102834 / 98354 ti = "17/102834/98354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102834/98354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102834 ÷ 217
    102834 ÷ 131072     		x = 0.784561157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98354 ÷ 217
    98354 ÷ 131072     		y = 0.750381469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784561157226562 × 2 - 1) × π
    0.569122314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78795048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750381469726562 × 2 - 1) × π
    -0.500762939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.573193171731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78795048} λ = 1.78795048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.573193171731))-π/2
    2×atan(0.207381917884202)-π/2
    2×0.204483377091519-π/2
    0.408966754183037-1.57079632675     		φ = -1.16182957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78795048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.442016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16182957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.567931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102834 KachelY 98354 1.78795048 -1.16182957 102.442016 -66.567931
    Oben rechts KachelX + 1 102835 KachelY 98354 1.78799842 -1.16182957 102.444763 -66.567931
    Unten links KachelX 102834 KachelY + 1 98355 1.78795048 -1.16184863 102.442016 -66.569023
    Unten rechts KachelX + 1 102835 KachelY + 1 98355 1.78799842 -1.16184863 102.444763 -66.569023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16182957--1.16184863) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dl = 121.431259999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16182957--1.16184863) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dr = 121.431259999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78795048-1.78799842) × cos(-1.16182957) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397661506518648 × 6371000     		do = 121.456059898456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78795048-1.78799842) × cos(-1.16184863) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397644018282808 × 6371000     		du = 121.450718541083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16182957)-sin(-1.16184863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397661506518648-0.397644018282808)×R²
    abs(1.78799842-1.78795048)×1.74882358401907e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74882358401907e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74882358401907e-05×40589641000000     		ar = 14748.23808453m²