Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102834 / 96314
↖ ↑ ↗
← S 64.237433°
E102.442016°		 ← 132.75 m → S 64.237433°
E102.444763°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
S 64.238627°
E102.442016°		 ← 132.75 m →
17 617 m²		 S 64.238627°
E102.444763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784564971923828 y=0.734821319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784564971923828 × 217)
    floor (0.784564971923828 × 131072)
    floor (102834.5)     		tx = 102834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734821319580078 × 217)
    floor (0.734821319580078 × 131072)
    floor (96314.5)     		ty = 96314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102834 / 96314 ti = "17/102834/96314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102834/96314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102834 ÷ 217
    102834 ÷ 131072     		x = 0.784561157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96314 ÷ 217
    96314 ÷ 131072     		y = 0.734817504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784561157226562 × 2 - 1) × π
    0.569122314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78795048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734817504882812 × 2 - 1) × π
    -0.469635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47540189650609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78795048} λ = 1.78795048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47540189650609))-π/2
    2×atan(0.228686800147942)-π/2
    2×0.224820808941277-π/2
    0.449641617882553-1.57079632675     		φ = -1.12115471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78795048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.442016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12115471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.237433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102834 KachelY 96314 1.78795048 -1.12115471 102.442016 -64.237433
    Oben rechts KachelX + 1 102835 KachelY 96314 1.78799842 -1.12115471 102.444763 -64.237433
    Unten links KachelX 102834 KachelY + 1 96315 1.78795048 -1.12117554 102.442016 -64.238627
    Unten rechts KachelX + 1 102835 KachelY + 1 96315 1.78799842 -1.12117554 102.444763 -64.238627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12115471--1.12117554) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12115471--1.12117554) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78795048-1.78799842) × cos(-1.12115471) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.434642801066406 × 6371000     		do = 132.751099151908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78795048-1.78799842) × cos(-1.12117554) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.434624041413106 × 6371000     		du = 132.745369470916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12115471)-sin(-1.12117554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434642801066406-0.434624041413106)×R²
    abs(1.78799842-1.78795048)×1.87596533002266e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.87596533002266e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.87596533002266e-05×40589641000000     		ar = 17616.7433871275m²