Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102833 / 96391
↖ ↑ ↗
← S 64.329201°
E102.439270°		 ← 132.28 m → S 64.329201°
E102.442016°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
S 64.330391°
E102.439270°		 ← 132.28 m →
17 504 m²		 S 64.330391°
E102.442016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784557342529297 y=0.735408782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784557342529297 × 217)
    floor (0.784557342529297 × 131072)
    floor (102833.5)     		tx = 102833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735408782958984 × 217)
    floor (0.735408782958984 × 131072)
    floor (96391.5)     		ty = 96391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102833 / 96391 ti = "17/102833/96391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102833/96391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102833 ÷ 217
    102833 ÷ 131072     		x = 0.784553527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96391 ÷ 217
    96391 ÷ 131072     		y = 0.735404968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784553527832031 × 2 - 1) × π
    0.569107055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.78790255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735404968261719 × 2 - 1) × π
    -0.470809936523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47909303777683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78790255} λ = 1.78790255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47909303777683))-π/2
    2×atan(0.227844240821216)-π/2
    2×0.224019977113333-π/2
    0.448039954226666-1.57079632675     		φ = -1.12275637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78790255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.439270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12275637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.329201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102833 KachelY 96391 1.78790255 -1.12275637 102.439270 -64.329201
    Oben rechts KachelX + 1 102834 KachelY 96391 1.78795048 -1.12275637 102.442016 -64.329201
    Unten links KachelX 102833 KachelY + 1 96392 1.78790255 -1.12277714 102.439270 -64.330391
    Unten rechts KachelX + 1 102834 KachelY + 1 96392 1.78795048 -1.12277714 102.442016 -64.330391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12275637--1.12277714) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dl = 132.325669999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12275637--1.12277714) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dr = 132.325669999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78790255-1.78795048) × cos(-1.12275637) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.43319978449841 × 6371000     		do = 132.282765589465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78790255-1.78795048) × cos(-1.12277714) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.433181064447103 × 6371000     		du = 132.277049196596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12275637)-sin(-1.12277714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43319978449841-0.433181064447103)×R²
    abs(1.78795048-1.78790255)×1.87200513070973e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.87200513070973e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.87200513070973e-05×40589641000000     		ar = 17504.0273739337m²