Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102833 / 100112
↖ ↑ ↗
← S 68.415352°
E102.439270°		 ← 112.34 m → S 68.415352°
E102.442016°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.416363°
E102.439270°		 ← 112.33 m →
12 624 m²		 S 68.416363°
E102.442016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784557342529297 y=0.763797760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784557342529297 × 217)
    floor (0.784557342529297 × 131072)
    floor (102833.5)     		tx = 102833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763797760009766 × 217)
    floor (0.763797760009766 × 131072)
    floor (100112.5)     		ty = 100112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102833 / 100112 ti = "17/102833/100112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102833/100112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102833 ÷ 217
    102833 ÷ 131072     		x = 0.784553527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100112 ÷ 217
    100112 ÷ 131072     		y = 0.7637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784553527832031 × 2 - 1) × π
    0.569107055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.78790255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65746624126306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78790255} λ = 1.78790255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65746624126306))-π/2
    2×atan(0.190621357259185)-π/2
    2×0.188361585923452-π/2
    0.376723171846905-1.57079632675     		φ = -1.19407315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78790255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.439270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19407315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.415352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102833 KachelY 100112 1.78790255 -1.19407315 102.439270 -68.415352
    Oben rechts KachelX + 1 102834 KachelY 100112 1.78795048 -1.19407315 102.442016 -68.415352
    Unten links KachelX 102833 KachelY + 1 100113 1.78790255 -1.19409079 102.439270 -68.416363
    Unten rechts KachelX + 1 102834 KachelY + 1 100113 1.78795048 -1.19409079 102.442016 -68.416363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19407315--1.19409079) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19407315--1.19409079) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78790255-1.78795048) × cos(-1.19407315) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.367875413640697 × 6371000     		do = 112.335183095961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78790255-1.78795048) × cos(-1.19409079) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.367859010586903 × 6371000     		du = 112.330174226156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19407315)-sin(-1.19409079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367875413640697-0.367859010586903)×R²
    abs(1.78795048-1.78790255)×1.64030537945226e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.64030537945226e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.64030537945226e-05×40589641000000     		ar = 12624.4451854669m²