Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102832 / 100075
↖ ↑ ↗
← S 68.377937°
E102.436524°		 ← 112.54 m → S 68.377937°
E102.439270°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.378948°
E102.436524°		 ← 112.54 m →
12 662 m²		 S 68.378948°
E102.439270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784549713134766 y=0.763515472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784549713134766 × 217)
    floor (0.784549713134766 × 131072)
    floor (102832.5)     		tx = 102832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763515472412109 × 217)
    floor (0.763515472412109 × 131072)
    floor (100075.5)     		ty = 100075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102832 / 100075 ti = "17/102832/100075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102832/100075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102832 ÷ 217
    102832 ÷ 131072     		x = 0.7845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100075 ÷ 217
    100075 ÷ 131072     		y = 0.763511657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7845458984375 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78785461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763511657714844 × 2 - 1) × π
    -0.527023315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.65569257597712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78785461} λ = 1.78785461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65569257597712))-π/2
    2×atan(0.190959755757436)-π/2
    2×0.188688099004461-π/2
    0.377376198008922-1.57079632675     		φ = -1.19342013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78785461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.436524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19342013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.377937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102832 KachelY 100075 1.78785461 -1.19342013 102.436524 -68.377937
    Oben rechts KachelX + 1 102833 KachelY 100075 1.78790255 -1.19342013 102.439270 -68.377937
    Unten links KachelX 102832 KachelY + 1 100076 1.78785461 -1.19343779 102.436524 -68.378948
    Unten rechts KachelX + 1 102833 KachelY + 1 100076 1.78790255 -1.19343779 102.439270 -68.378948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19342013--1.19343779) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19342013--1.19343779) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78785461-1.78790255) × cos(-1.19342013) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.368482562190276 × 6371000     		do = 112.544059234508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78785461-1.78790255) × cos(-1.19343779) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.368466144784718 × 6371000     		du = 112.539044936267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19342013)-sin(-1.19343779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368482562190276-0.368466144784718)×R²
    abs(1.78790255-1.78785461)×1.64174055577448e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.64174055577448e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.64174055577448e-05×40589641000000     		ar = 12662.2593526935m²