Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102831 / 100110
↖ ↑ ↗
← S 68.413331°
E102.433777°		 ← 112.37 m → S 68.413331°
E102.436524°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.414342°
E102.433777°		 ← 112.36 m →
12 628 m²		 S 68.414342°
E102.436524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784542083740234 y=0.763782501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784542083740234 × 217)
    floor (0.784542083740234 × 131072)
    floor (102831.5)     		tx = 102831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763782501220703 × 217)
    floor (0.763782501220703 × 131072)
    floor (100110.5)     		ty = 100110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102831 / 100110 ti = "17/102831/100110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102831/100110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102831 ÷ 217
    102831 ÷ 131072     		x = 0.784538269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100110 ÷ 217
    100110 ÷ 131072     		y = 0.763778686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784538269042969 × 2 - 1) × π
    0.569076538085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.78780667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    -0.527557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65737036746382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78780667} λ = 1.78780667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65737036746382))-π/2
    2×atan(0.190639633729025)-π/2
    2×0.188379221516105-π/2
    0.37675844303221-1.57079632675     		φ = -1.19403788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78780667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.433777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19403788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.413331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102831 KachelY 100110 1.78780667 -1.19403788 102.433777 -68.413331
    Oben rechts KachelX + 1 102832 KachelY 100110 1.78785461 -1.19403788 102.436524 -68.413331
    Unten links KachelX 102831 KachelY + 1 100111 1.78780667 -1.19405552 102.433777 -68.414342
    Unten rechts KachelX + 1 102832 KachelY + 1 100111 1.78785461 -1.19405552 102.436524 -68.414342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19403788--1.19405552) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19403788--1.19405552) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78780667-1.78785461) × cos(-1.19403788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367908210106245 × 6371000     		do = 112.368637323702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78780667-1.78785461) × cos(-1.19405552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367891807281334 × 6371000     		du = 112.363627478765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19403788)-sin(-1.19405552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367908210106245-0.367891807281334)×R²
    abs(1.78785461-1.78780667)×1.64028249109993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64028249109993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64028249109993e-05×40589641000000     		ar = 12628.2048653147m²