Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102830 / 100122
↖ ↑ ↗
← S 68.425454°
E102.431030°		 ← 112.31 m → S 68.425454°
E102.433777°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 68.426464°
E102.431030°		 ← 112.30 m →
12 614 m²		 S 68.426464°
E102.433777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784534454345703 y=0.763874053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784534454345703 × 217)
    floor (0.784534454345703 × 131072)
    floor (102830.5)     		tx = 102830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763874053955078 × 217)
    floor (0.763874053955078 × 131072)
    floor (100122.5)     		ty = 100122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102830 / 100122 ti = "17/102830/100122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102830/100122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102830 ÷ 217
    102830 ÷ 131072     		x = 0.784530639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100122 ÷ 217
    100122 ÷ 131072     		y = 0.763870239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784530639648438 × 2 - 1) × π
    0.569061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78775873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763870239257812 × 2 - 1) × π
    -0.527740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65794561025926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78775873} λ = 1.78775873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65794561025926))-π/2
    2×atan(0.190530001188885)-π/2
    2×0.188273431540143-π/2
    0.376546863080286-1.57079632675     		φ = -1.19424946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78775873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.431030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19424946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.425454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102830 KachelY 100122 1.78775873 -1.19424946 102.431030 -68.425454
    Oben rechts KachelX + 1 102831 KachelY 100122 1.78780667 -1.19424946 102.433777 -68.425454
    Unten links KachelX 102830 KachelY + 1 100123 1.78775873 -1.19426709 102.431030 -68.426464
    Unten rechts KachelX + 1 102831 KachelY + 1 100123 1.78780667 -1.19426709 102.433777 -68.426464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19424946--1.19426709) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19424946--1.19426709) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78775873-1.78780667) × cos(-1.19424946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367711461646966 × 6371000     		do = 112.308545279933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78775873-1.78780667) × cos(-1.19426709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367695066748784 × 6371000     		du = 112.303537856023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19424946)-sin(-1.19426709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367711461646966-0.367695066748784)×R²
    abs(1.78780667-1.78775873)×1.6394898182337e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6394898182337e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6394898182337e-05×40589641000000     		ar = 12614.2965726284m²