Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10283 / 6187
↖ ↑ ↗
← N 81.056568°
W123.513794°		 ← 94.96 m → N 81.056568°
W123.508301°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
N 81.055714°
W123.513794°		 ← 94.97 m →
9 015 m²		 N 81.055714°
W123.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156913757324219 y=0.0944137573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156913757324219 × 216)
    floor (0.156913757324219 × 65536)
    floor (10283.5)     		tx = 10283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0944137573242188 × 216)
    floor (0.0944137573242188 × 65536)
    floor (6187.5)     		ty = 6187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10283 / 6187 ti = "16/10283/6187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10283/6187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10283 ÷ 216
    10283 ÷ 65536     		x = 0.156906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6187 ÷ 216
    6187 ÷ 65536     		y = 0.0944061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.686187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15572238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0944061279296875 × 2 - 1) × π
    0.811187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54842145760143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15572238} λ = -2.15572238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54842145760143))-π/2
    2×atan(12.7869031742922)-π/2
    2×1.49275016033487-π/2
    2.98550032066973-1.57079632675     		φ = 1.41470399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15572238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41470399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.056568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10283 KachelY 6187 -2.15572238 1.41470399 -123.513794 81.056568
    Oben rechts KachelX + 1 10284 KachelY 6187 -2.15562650 1.41470399 -123.508301 81.056568
    Unten links KachelX 10283 KachelY + 1 6188 -2.15572238 1.41468909 -123.513794 81.055714
    Unten rechts KachelX + 1 10284 KachelY + 1 6188 -2.15562650 1.41468909 -123.508301 81.055714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41470399-1.41468909) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41470399-1.41468909) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15572238--2.15562650) × cos(1.41470399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155459248322232 × 6371000     		do = 94.9625119172608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15572238--2.15562650) × cos(1.41468909) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155473967155339 × 6371000     		du = 94.9715029382479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41470399)-sin(1.41468909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155459248322232-0.155473967155339)×R²
    abs(-2.15562650--2.15572238)×1.47188331065806e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47188331065806e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47188331065806e-05×40589641000000     		ar = 9015.01858436124m²