Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102826 / 99812
↖ ↑ ↗
← S 68.110198°
E102.420044°		 ← 113.85 m → S 68.110198°
E102.422790°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.111222°
E102.420044°		 ← 113.84 m →
12 961 m²		 S 68.111222°
E102.422790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784503936767578 y=0.761508941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784503936767578 × 217)
    floor (0.784503936767578 × 131072)
    floor (102826.5)     		tx = 102826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761508941650391 × 217)
    floor (0.761508941650391 × 131072)
    floor (99812.5)     		ty = 99812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102826 / 99812 ti = "17/102826/99812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102826/99812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102826 ÷ 217
    102826 ÷ 131072     		x = 0.784500122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99812 ÷ 217
    99812 ÷ 131072     		y = 0.761505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784500122070312 × 2 - 1) × π
    0.569000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78756699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.52301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64308517137704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78756699} λ = 1.78756699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64308517137704))-π/2
    2×atan(0.193382502846456)-π/2
    2×0.191024560202021-π/2
    0.382049120404042-1.57079632675     		φ = -1.18874721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78756699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18874721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.110198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102826 KachelY 99812 1.78756699 -1.18874721 102.420044 -68.110198
    Oben rechts KachelX + 1 102827 KachelY 99812 1.78761492 -1.18874721 102.422790 -68.110198
    Unten links KachelX 102826 KachelY + 1 99813 1.78756699 -1.18876508 102.420044 -68.111222
    Unten rechts KachelX + 1 102827 KachelY + 1 99813 1.78761492 -1.18876508 102.422790 -68.111222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18874721--1.18876508) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18874721--1.18876508) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78756699-1.78761492) × cos(-1.18874721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372822631657934 × 6371000     		do = 113.845875633079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78756699-1.78761492) × cos(-1.18876508) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372806049978461 × 6371000     		du = 113.840812217774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18874721)-sin(-1.18876508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372822631657934-0.372806049978461)×R²
    abs(1.78761492-1.78756699)×1.65816794728824e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65816794728824e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65816794728824e-05×40589641000000     		ar = 12961.0385223556m²