Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102825 / 99815
↖ ↑ ↗
← S 68.113270°
E102.417297°		 ← 113.85 m → S 68.113270°
E102.420044°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.114294°
E102.417297°		 ← 113.85 m →
12 962 m²		 S 68.114294°
E102.420044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784496307373047 y=0.761531829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784496307373047 × 217)
    floor (0.784496307373047 × 131072)
    floor (102825.5)     		tx = 102825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761531829833984 × 217)
    floor (0.761531829833984 × 131072)
    floor (99815.5)     		ty = 99815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102825 / 99815 ti = "17/102825/99815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102825/99815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102825 ÷ 217
    102825 ÷ 131072     		x = 0.784492492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99815 ÷ 217
    99815 ÷ 131072     		y = 0.761528015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784492492675781 × 2 - 1) × π
    0.568984985351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.78751905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761528015136719 × 2 - 1) × π
    -0.523056030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6432289820759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78751905} λ = 1.78751905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6432289820759))-π/2
    2×atan(0.1933546943732)-π/2
    2×0.190997754048766-π/2
    0.381995508097531-1.57079632675     		φ = -1.18880082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78751905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.417297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18880082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.113270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102825 KachelY 99815 1.78751905 -1.18880082 102.417297 -68.113270
    Oben rechts KachelX + 1 102826 KachelY 99815 1.78756699 -1.18880082 102.420044 -68.113270
    Unten links KachelX 102825 KachelY + 1 99816 1.78751905 -1.18881869 102.417297 -68.114294
    Unten rechts KachelX + 1 102826 KachelY + 1 99816 1.78756699 -1.18881869 102.420044 -68.114294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18880082--1.18881869) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18880082--1.18881869) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78751905-1.78756699) × cos(-1.18880082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372772886262369 × 6371000     		do = 113.854434638545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78751905-1.78756699) × cos(-1.18881869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37275630422576 × 6371000     		du = 113.849370057743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18880082)-sin(-1.18881869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372772886262369-0.37275630422576)×R²
    abs(1.78756699-1.78751905)×1.65820366091474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65820366091474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65820366091474e-05×40589641000000     		ar = 12962.0128967035m²