Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102823 / 100086
↖ ↑ ↗
← S 68.389066°
E102.411804°		 ← 112.47 m → S 68.389066°
E102.414551°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.390078°
E102.411804°		 ← 112.46 m →
12 653 m²		 S 68.390078°
E102.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784481048583984 y=0.763599395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784481048583984 × 217)
    floor (0.784481048583984 × 131072)
    floor (102823.5)     		tx = 102823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763599395751953 × 217)
    floor (0.763599395751953 × 131072)
    floor (100086.5)     		ty = 100086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102823 / 100086 ti = "17/102823/100086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102823/100086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102823 ÷ 217
    102823 ÷ 131072     		x = 0.784477233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100086 ÷ 217
    100086 ÷ 131072     		y = 0.763595581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784477233886719 × 2 - 1) × π
    0.568954467773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.78742318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763595581054688 × 2 - 1) × π
    -0.527191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65621988187294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78742318} λ = 1.78742318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65621988187294))-π/2
    2×atan(0.190859088096019)-π/2
    2×0.188590971299034-π/2
    0.377181942598068-1.57079632675     		φ = -1.19361438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78742318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.411804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19361438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.389066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102823 KachelY 100086 1.78742318 -1.19361438 102.411804 -68.389066
    Oben rechts KachelX + 1 102824 KachelY 100086 1.78747111 -1.19361438 102.414551 -68.389066
    Unten links KachelX 102823 KachelY + 1 100087 1.78742318 -1.19363204 102.411804 -68.390078
    Unten rechts KachelX + 1 102824 KachelY + 1 100087 1.78747111 -1.19363204 102.414551 -68.390078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19361438--1.19363204) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19361438--1.19363204) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78742318-1.78747111) × cos(-1.19361438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368301973706688 × 6371000     		do = 112.46543834415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78742318-1.78747111) × cos(-1.19363204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368285555037406 × 6371000     		du = 112.460424705968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19361438)-sin(-1.19363204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368301973706688-0.368285555037406)×R²
    abs(1.78747111-1.78742318)×1.64186692827029e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64186692827029e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64186692827029e-05×40589641000000     		ar = 12653.413607195m²