Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102822 / 99818
↖ ↑ ↗
← S 68.116341°
E102.409058°		 ← 113.84 m → S 68.116341°
E102.411804°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.117365°
E102.409058°		 ← 113.83 m →
12 960 m²		 S 68.117365°
E102.411804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784473419189453 y=0.761554718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784473419189453 × 217)
    floor (0.784473419189453 × 131072)
    floor (102822.5)     		tx = 102822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761554718017578 × 217)
    floor (0.761554718017578 × 131072)
    floor (99818.5)     		ty = 99818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102822 / 99818 ti = "17/102822/99818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102822/99818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102822 ÷ 217
    102822 ÷ 131072     		x = 0.784469604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99818 ÷ 217
    99818 ÷ 131072     		y = 0.761550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784469604492188 × 2 - 1) × π
    0.568939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78737524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761550903320312 × 2 - 1) × π
    -0.523101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64337279277477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78737524} λ = 1.78737524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64337279277477))-π/2
    2×atan(0.193326889898813)-π/2
    2×0.190970951472424-π/2
    0.381941902944848-1.57079632675     		φ = -1.18885442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78737524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.409058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18885442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.116341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102822 KachelY 99818 1.78737524 -1.18885442 102.409058 -68.116341
    Oben rechts KachelX + 1 102823 KachelY 99818 1.78742318 -1.18885442 102.411804 -68.116341
    Unten links KachelX 102822 KachelY + 1 99819 1.78737524 -1.18887229 102.409058 -68.117365
    Unten rechts KachelX + 1 102823 KachelY + 1 99819 1.78742318 -1.18887229 102.411804 -68.117365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18885442--1.18887229) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18885442--1.18887229) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78737524-1.78742318) × cos(-1.18885442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372723149074868 × 6371000     		do = 113.839243621247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78737524-1.78742318) × cos(-1.18887229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372706566681237 × 6371000     		du = 113.834178931401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18885442)-sin(-1.18887229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372723149074868-0.372706566681237)×R²
    abs(1.78742318-1.78737524)×1.65823936311704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65823936311704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65823936311704e-05×40589641000000     		ar = 12960.2833967403m²