Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102822 / 96332
↖ ↑ ↗
← S 64.258913°
E102.409058°		 ← 132.65 m → S 64.258913°
E102.411804°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.260106°
E102.409058°		 ← 132.64 m →
17 595 m²		 S 64.260106°
E102.411804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784473419189453 y=0.734958648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784473419189453 × 217)
    floor (0.784473419189453 × 131072)
    floor (102822.5)     		tx = 102822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734958648681641 × 217)
    floor (0.734958648681641 × 131072)
    floor (96332.5)     		ty = 96332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102822 / 96332 ti = "17/102822/96332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102822/96332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102822 ÷ 217
    102822 ÷ 131072     		x = 0.784469604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96332 ÷ 217
    96332 ÷ 131072     		y = 0.734954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784469604492188 × 2 - 1) × π
    0.568939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78737524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.46990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47626476069925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78737524} λ = 1.78737524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47626476069925))-π/2
    2×atan(0.228489559604785)-π/2
    2×0.224633362931714-π/2
    0.449266725863428-1.57079632675     		φ = -1.12152960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78737524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.409058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12152960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.258913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102822 KachelY 96332 1.78737524 -1.12152960 102.409058 -64.258913
    Oben rechts KachelX + 1 102823 KachelY 96332 1.78742318 -1.12152960 102.411804 -64.258913
    Unten links KachelX 102822 KachelY + 1 96333 1.78737524 -1.12155042 102.409058 -64.260106
    Unten rechts KachelX + 1 102823 KachelY + 1 96333 1.78742318 -1.12155042 102.411804 -64.260106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12152960--1.12155042) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12152960--1.12155042) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78737524-1.78742318) × cos(-1.12152960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434305143499417 × 6371000     		do = 132.647969839029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78737524-1.78742318) × cos(-1.12155042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434286389461149 × 6371000     		du = 132.642241873013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12152960)-sin(-1.12155042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434305143499417-0.434286389461149)×R²
    abs(1.78742318-1.78737524)×1.87540382678431e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87540382678431e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87540382678431e-05×40589641000000     		ar = 17594.6066037387m²