Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102821 / 96324
↖ ↑ ↗
← S 64.249368°
E102.406311°		 ← 132.69 m → S 64.249368°
E102.409058°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.250561°
E102.406311°		 ← 132.69 m →
17 601 m²		 S 64.250561°
E102.409058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784465789794922 y=0.734897613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784465789794922 × 217)
    floor (0.784465789794922 × 131072)
    floor (102821.5)     		tx = 102821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734897613525391 × 217)
    floor (0.734897613525391 × 131072)
    floor (96324.5)     		ty = 96324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102821 / 96324 ti = "17/102821/96324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102821/96324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102821 ÷ 217
    102821 ÷ 131072     		x = 0.784461975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96324 ÷ 217
    96324 ÷ 131072     		y = 0.734893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784461975097656 × 2 - 1) × π
    0.568923950195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.78732730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.46978759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47588126550229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78732730} λ = 1.78732730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47588126550229))-π/2
    2×atan(0.228577201057413)-π/2
    2×0.224716654284669-π/2
    0.449433308569338-1.57079632675     		φ = -1.12136302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78732730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.406311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12136302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.249368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102821 KachelY 96324 1.78732730 -1.12136302 102.406311 -64.249368
    Oben rechts KachelX + 1 102822 KachelY 96324 1.78737524 -1.12136302 102.409058 -64.249368
    Unten links KachelX 102821 KachelY + 1 96325 1.78732730 -1.12138384 102.406311 -64.250561
    Unten rechts KachelX + 1 102822 KachelY + 1 96325 1.78737524 -1.12138384 102.409058 -64.250561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12136302--1.12138384) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12136302--1.12138384) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78732730-1.78737524) × cos(-1.12136302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434455187041411 × 6371000     		do = 132.693796998874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78732730-1.78737524) × cos(-1.12138384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434436434509626 × 6371000     		du = 132.688069492977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12136302)-sin(-1.12138384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434455187041411-0.434436434509626)×R²
    abs(1.78737524-1.78732730)×1.87525317849602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87525317849602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87525317849602e-05×40589641000000     		ar = 17600.6853421375m²