Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102820 / 96351
↖ ↑ ↗
← S 64.281567°
E102.403565°		 ← 132.51 m → S 64.281567°
E102.406311°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
S 64.282760°
E102.403565°		 ← 132.51 m →
17 568 m²		 S 64.282760°
E102.406311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784458160400391 y=0.735103607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784458160400391 × 217)
    floor (0.784458160400391 × 131072)
    floor (102820.5)     		tx = 102820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735103607177734 × 217)
    floor (0.735103607177734 × 131072)
    floor (96351.5)     		ty = 96351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102820 / 96351 ti = "17/102820/96351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102820/96351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102820 ÷ 217
    102820 ÷ 131072     		x = 0.784454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96351 ÷ 217
    96351 ÷ 131072     		y = 0.735099792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784454345703125 × 2 - 1) × π
    0.56890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78727937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735099792480469 × 2 - 1) × π
    -0.470199584960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.47717556179203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78727937} λ = 1.78727937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47717556179203))-π/2
    2×atan(0.228281545808184)-π/2
    2×0.224435661247748-π/2
    0.448871322495496-1.57079632675     		φ = -1.12192500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78727937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12192500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.281567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102820 KachelY 96351 1.78727937 -1.12192500 102.403565 -64.281567
    Oben rechts KachelX + 1 102821 KachelY 96351 1.78732730 -1.12192500 102.406311 -64.281567
    Unten links KachelX 102820 KachelY + 1 96352 1.78727937 -1.12194581 102.403565 -64.282760
    Unten rechts KachelX + 1 102821 KachelY + 1 96352 1.78732730 -1.12194581 102.406311 -64.282760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12192500--1.12194581) × R
    2.08099999998712e-05 × 6371000     		dl = 132.580509999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12192500--1.12194581) × R
    2.08099999998712e-05 × 6371000     		dr = 132.580509999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78727937-1.78732730) × cos(-1.12192500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433948946758008 × 6371000     		do = 132.511531298468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78727937-1.78732730) × cos(-1.12194581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433930198155449 × 6371000     		du = 132.505806187131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12192500)-sin(-1.12194581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433948946758008-0.433930198155449)×R²
    abs(1.78732730-1.78727937)×1.87486025584049e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87486025584049e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87486025584049e-05×40589641000000     		ar = 17568.0668816565m²