Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102819 / 96371
↖ ↑ ↗
← S 64.305395°
E102.400818°		 ← 132.42 m → S 64.305395°
E102.403565°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
S 64.306586°
E102.400818°		 ← 132.42 m →
17 531 m²		 S 64.306586°
E102.403565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784450531005859 y=0.735256195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784450531005859 × 217)
    floor (0.784450531005859 × 131072)
    floor (102819.5)     		tx = 102819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735256195068359 × 217)
    floor (0.735256195068359 × 131072)
    floor (96371.5)     		ty = 96371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102819 / 96371 ti = "17/102819/96371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102819/96371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102819 ÷ 217
    102819 ÷ 131072     		x = 0.784446716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96371 ÷ 217
    96371 ÷ 131072     		y = 0.735252380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784446716308594 × 2 - 1) × π
    0.568893432617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.78723143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735252380371094 × 2 - 1) × π
    -0.470504760742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.47813429978443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78723143} λ = 1.78723143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47813429978443))-π/2
    2×atan(0.228062788499482)-π/2
    2×0.224227729399436-π/2
    0.448455458798872-1.57079632675     		φ = -1.12234087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78723143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.400818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12234087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.305395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102819 KachelY 96371 1.78723143 -1.12234087 102.400818 -64.305395
    Oben rechts KachelX + 1 102820 KachelY 96371 1.78727937 -1.12234087 102.403565 -64.305395
    Unten links KachelX 102819 KachelY + 1 96372 1.78723143 -1.12236165 102.400818 -64.306586
    Unten rechts KachelX + 1 102820 KachelY + 1 96372 1.78727937 -1.12236165 102.403565 -64.306586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12234087--1.12236165) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12234087--1.12236165) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78723143-1.78727937) × cos(-1.12234087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433574236380945 × 6371000     		do = 132.424731991498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78723143-1.78727937) × cos(-1.12236165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433555511058391 × 6371000     		du = 132.419012796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12234087)-sin(-1.12236165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433574236380945-0.433555511058391)×R²
    abs(1.78727937-1.78723143)×1.87253225547579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87253225547579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87253225547579e-05×40589641000000     		ar = 17531.249585338m²