Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102818 / 96351
↖ ↑ ↗
← S 64.281567°
E102.398071°		 ← 132.54 m → S 64.281567°
E102.400818°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
S 64.282760°
E102.398071°		 ← 132.53 m →
17 572 m²		 S 64.282760°
E102.400818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784442901611328 y=0.735103607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784442901611328 × 217)
    floor (0.784442901611328 × 131072)
    floor (102818.5)     		tx = 102818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735103607177734 × 217)
    floor (0.735103607177734 × 131072)
    floor (96351.5)     		ty = 96351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102818 / 96351 ti = "17/102818/96351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102818/96351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102818 ÷ 217
    102818 ÷ 131072     		x = 0.784439086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96351 ÷ 217
    96351 ÷ 131072     		y = 0.735099792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784439086914062 × 2 - 1) × π
    0.568878173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78718349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735099792480469 × 2 - 1) × π
    -0.470199584960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.47717556179203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78718349} λ = 1.78718349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47717556179203))-π/2
    2×atan(0.228281545808184)-π/2
    2×0.224435661247748-π/2
    0.448871322495496-1.57079632675     		φ = -1.12192500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78718349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.398071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12192500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.281567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102818 KachelY 96351 1.78718349 -1.12192500 102.398071 -64.281567
    Oben rechts KachelX + 1 102819 KachelY 96351 1.78723143 -1.12192500 102.400818 -64.281567
    Unten links KachelX 102818 KachelY + 1 96352 1.78718349 -1.12194581 102.398071 -64.282760
    Unten rechts KachelX + 1 102819 KachelY + 1 96352 1.78723143 -1.12194581 102.400818 -64.282760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12192500--1.12194581) × R
    2.08099999998712e-05 × 6371000     		dl = 132.580509999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12192500--1.12194581) × R
    2.08099999998712e-05 × 6371000     		dr = 132.580509999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78718349-1.78723143) × cos(-1.12192500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433948946758008 × 6371000     		do = 132.539178185698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78718349-1.78723143) × cos(-1.12194581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433930198155449 × 6371000     		du = 132.533451879888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12192500)-sin(-1.12194581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433948946758008-0.433930198155449)×R²
    abs(1.78723143-1.78718349)×1.87486025584049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87486025584049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87486025584049e-05×40589641000000     		ar = 17571.7322408834m²