Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102816 / 96330
↖ ↑ ↗
← S 64.256527°
E102.392578°		 ← 132.63 m → S 64.256527°
E102.395324°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.257720°
E102.392578°		 ← 132.63 m →
17 592 m²		 S 64.257720°
E102.395324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784427642822266 y=0.734943389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784427642822266 × 217)
    floor (0.784427642822266 × 131072)
    floor (102816.5)     		tx = 102816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734943389892578 × 217)
    floor (0.734943389892578 × 131072)
    floor (96330.5)     		ty = 96330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102816 / 96330 ti = "17/102816/96330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102816/96330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102816 ÷ 217
    102816 ÷ 131072     		x = 0.784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96330 ÷ 217
    96330 ÷ 131072     		y = 0.734939575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784423828125 × 2 - 1) × π
    0.56884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78708762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734939575195312 × 2 - 1) × π
    -0.469879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47616888690001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78708762} λ = 1.78708762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47616888690001))-π/2
    2×atan(0.228511466817098)-π/2
    2×0.224654183072735-π/2
    0.44930836614547-1.57079632675     		φ = -1.12148796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78708762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12148796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.256527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102816 KachelY 96330 1.78708762 -1.12148796 102.392578 -64.256527
    Oben rechts KachelX + 1 102817 KachelY 96330 1.78713555 -1.12148796 102.395324 -64.256527
    Unten links KachelX 102816 KachelY + 1 96331 1.78708762 -1.12150878 102.392578 -64.257720
    Unten rechts KachelX + 1 102817 KachelY + 1 96331 1.78713555 -1.12150878 102.395324 -64.257720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12148796--1.12150878) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12148796--1.12150878) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78708762-1.78713555) × cos(-1.12148796) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.434342651011167 × 6371000     		do = 132.631753627818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78708762-1.78713555) × cos(-1.12150878) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.434323897349426 × 6371000     		du = 132.626026971599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12148796)-sin(-1.12150878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434342651011167-0.434323897349426)×R²
    abs(1.78713555-1.78708762)×1.87536617411443e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.87536617411443e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.87536617411443e-05×40589641000000     		ar = 17592.4557037468m²