Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102814 / 98363
↖ ↑ ↗
← S 66.577759°
E102.387085°		 ← 121.41 m → S 66.577759°
E102.389831°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.578851°
E102.387085°		 ← 121.40 m →
14 742 m²		 S 66.578851°
E102.389831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784412384033203 y=0.750453948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784412384033203 × 217)
    floor (0.784412384033203 × 131072)
    floor (102814.5)     		tx = 102814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750453948974609 × 217)
    floor (0.750453948974609 × 131072)
    floor (98363.5)     		ty = 98363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102814 / 98363 ti = "17/102814/98363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102814/98363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102814 ÷ 217
    102814 ÷ 131072     		x = 0.784408569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98363 ÷ 217
    98363 ÷ 131072     		y = 0.750450134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784408569335938 × 2 - 1) × π
    0.568817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78699174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750450134277344 × 2 - 1) × π
    -0.500900268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57362460382758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78699174} λ = 1.78699174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57362460382758))-π/2
    2×atan(0.207292465966178)-π/2
    2×0.20439761209999-π/2
    0.408795224199981-1.57079632675     		φ = -1.16200110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78699174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16200110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.577759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102814 KachelY 98363 1.78699174 -1.16200110 102.387085 -66.577759
    Oben rechts KachelX + 1 102815 KachelY 98363 1.78703968 -1.16200110 102.389831 -66.577759
    Unten links KachelX 102814 KachelY + 1 98364 1.78699174 -1.16202016 102.387085 -66.578851
    Unten rechts KachelX + 1 102815 KachelY + 1 98364 1.78703968 -1.16202016 102.389831 -66.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16200110--1.16202016) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16200110--1.16202016) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78699174-1.78703968) × cos(-1.16200110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397504116372151 × 6371000     		do = 121.407988895931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78699174-1.78703968) × cos(-1.16202016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397486626836498 × 6371000     		du = 121.402647141562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16200110)-sin(-1.16202016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397504116372151-0.397486626836498)×R²
    abs(1.78703968-1.78699174)×1.74895356538363e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74895356538363e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74895356538363e-05×40589641000000     		ar = 14742.4007382432m²