Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10281 / 14373
↖ ↑ ↗
← N 70.545033°
W123.524780°		 ← 203.43 m → N 70.545033°
W123.519287°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 70.543203°
W123.524780°		 ← 203.45 m →
41 385 m²		 N 70.543203°
W123.519287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156883239746094 y=0.219322204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156883239746094 × 216)
    floor (0.156883239746094 × 65536)
    floor (10281.5)     		tx = 10281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219322204589844 × 216)
    floor (0.219322204589844 × 65536)
    floor (14373.5)     		ty = 14373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10281 / 14373 ti = "16/10281/14373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10281/14373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10281 ÷ 216
    10281 ÷ 65536     		x = 0.156875610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14373 ÷ 216
    14373 ÷ 65536     		y = 0.219314575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156875610351562 × 2 - 1) × π
    -0.686248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15591412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219314575195312 × 2 - 1) × π
    0.561370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76359853702187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15591412} λ = -2.15591412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76359853702187))-π/2
    2×atan(5.83339134472475)-π/2
    2×1.40101970896448-π/2
    2.80203941792895-1.57079632675     		φ = 1.23124309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15591412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.524780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23124309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.545033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10281 KachelY 14373 -2.15591412 1.23124309 -123.524780 70.545033
    Oben rechts KachelX + 1 10282 KachelY 14373 -2.15581825 1.23124309 -123.519287 70.545033
    Unten links KachelX 10281 KachelY + 1 14374 -2.15591412 1.23121116 -123.524780 70.543203
    Unten rechts KachelX + 1 10282 KachelY + 1 14374 -2.15581825 1.23121116 -123.519287 70.543203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23124309-1.23121116) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23124309-1.23121116) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15591412--2.15581825) × cos(1.23124309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333065870777257 × 6371000     		do = 203.432560475144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15591412--2.15581825) × cos(1.23121116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333095977518176 × 6371000     		du = 203.450949304293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23124309)-sin(1.23121116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333065870777257-0.333095977518176)×R²
    abs(-2.15581825--2.15591412)×3.01067409195221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01067409195221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01067409195221e-05×40589641000000     		ar = 41385.3485371495m²