Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102809 / 96341
↖ ↑ ↗
← S 64.269646°
E102.373352°		 ← 132.60 m → S 64.269646°
E102.376099°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
S 64.270839°
E102.373352°		 ← 132.59 m →
17 579 m²		 S 64.270839°
E102.376099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784374237060547 y=0.735027313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784374237060547 × 217)
    floor (0.784374237060547 × 131072)
    floor (102809.5)     		tx = 102809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735027313232422 × 217)
    floor (0.735027313232422 × 131072)
    floor (96341.5)     		ty = 96341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102809 / 96341 ti = "17/102809/96341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102809/96341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102809 ÷ 217
    102809 ÷ 131072     		x = 0.784370422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96341 ÷ 217
    96341 ÷ 131072     		y = 0.735023498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784370422363281 × 2 - 1) × π
    0.568740844726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.78675206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735023498535156 × 2 - 1) × π
    -0.470046997070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.47669619279583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78675206} λ = 1.78675206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47669619279583))-π/2
    2×atan(0.228391003136778)-π/2
    2×0.224539694544984-π/2
    0.449079389089969-1.57079632675     		φ = -1.12171694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78675206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.373352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12171694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.269646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102809 KachelY 96341 1.78675206 -1.12171694 102.373352 -64.269646
    Oben rechts KachelX + 1 102810 KachelY 96341 1.78680000 -1.12171694 102.376099 -64.269646
    Unten links KachelX 102809 KachelY + 1 96342 1.78675206 -1.12173775 102.373352 -64.270839
    Unten rechts KachelX + 1 102810 KachelY + 1 96342 1.78680000 -1.12173775 102.376099 -64.270839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12171694--1.12173775) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12171694--1.12173775) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78675206-1.78680000) × cos(-1.12171694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434136386412534 × 6371000     		do = 132.596427080887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78675206-1.78680000) × cos(-1.12173775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434117639689222 × 6371000     		du = 132.590701349047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12171694)-sin(-1.12173775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434136386412534-0.434117639689222)×R²
    abs(1.78680000-1.78675206)×1.87467233122574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87467233122574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87467233122574e-05×40589641000000     		ar = 17579.322367178m²