Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102801 / 97999
↖ ↑ ↗
← S 66.177156°
E102.351379°		 ← 123.36 m → S 66.177156°
E102.354126°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.178266°
E102.351379°		 ← 123.36 m →
15 216 m²		 S 66.178266°
E102.354126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784313201904297 y=0.747676849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784313201904297 × 217)
    floor (0.784313201904297 × 131072)
    floor (102801.5)     		tx = 102801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747676849365234 × 217)
    floor (0.747676849365234 × 131072)
    floor (97999.5)     		ty = 97999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102801 / 97999 ti = "17/102801/97999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102801/97999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102801 ÷ 217
    102801 ÷ 131072     		x = 0.784309387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97999 ÷ 217
    97999 ÷ 131072     		y = 0.747673034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784309387207031 × 2 - 1) × π
    0.568618774414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.78636856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747673034667969 × 2 - 1) × π
    -0.495346069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55617557236588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78636856} λ = 1.78636856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55617557236588))-π/2
    2×atan(0.210941260110341)-π/2
    2×0.207893527132202-π/2
    0.415787054264403-1.57079632675     		φ = -1.15500927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78636856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.351379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15500927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.177156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102801 KachelY 97999 1.78636856 -1.15500927 102.351379 -66.177156
    Oben rechts KachelX + 1 102802 KachelY 97999 1.78641650 -1.15500927 102.354126 -66.177156
    Unten links KachelX 102801 KachelY + 1 98000 1.78636856 -1.15502863 102.351379 -66.178266
    Unten rechts KachelX + 1 102802 KachelY + 1 98000 1.78641650 -1.15502863 102.354126 -66.178266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15500927--1.15502863) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dl = 123.342559998737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15500927--1.15502863) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dr = 123.342559998737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78636856-1.78641650) × cos(-1.15500927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403910053949744 × 6371000     		do = 123.36452712096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78636856-1.78641650) × cos(-1.15502863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403892343371147 × 6371000     		du = 123.359117854386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15500927)-sin(-1.15502863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403910053949744-0.403892343371147)×R²
    abs(1.78641650-1.78636856)×1.77105785973408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77105785973408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77105785973408e-05×40589641000000     		ar = 15215.7629921313m²