Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102801 / 97997
↖ ↑ ↗
← S 66.174938°
E102.351379°		 ← 123.38 m → S 66.174938°
E102.354126°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.176047°
E102.351379°		 ← 123.37 m →
15 217 m²		 S 66.176047°
E102.354126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784313201904297 y=0.747661590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784313201904297 × 217)
    floor (0.784313201904297 × 131072)
    floor (102801.5)     		tx = 102801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747661590576172 × 217)
    floor (0.747661590576172 × 131072)
    floor (97997.5)     		ty = 97997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102801 / 97997 ti = "17/102801/97997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102801/97997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102801 ÷ 217
    102801 ÷ 131072     		x = 0.784309387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97997 ÷ 217
    97997 ÷ 131072     		y = 0.747657775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784309387207031 × 2 - 1) × π
    0.568618774414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.78636856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747657775878906 × 2 - 1) × π
    -0.495315551757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55607969856664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78636856} λ = 1.78636856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55607969856664))-π/2
    2×atan(0.210961484819858)-π/2
    2×0.207912890176905-π/2
    0.41582578035381-1.57079632675     		φ = -1.15497055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78636856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.351379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15497055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.174938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102801 KachelY 97997 1.78636856 -1.15497055 102.351379 -66.174938
    Oben rechts KachelX + 1 102802 KachelY 97997 1.78641650 -1.15497055 102.354126 -66.174938
    Unten links KachelX 102801 KachelY + 1 97998 1.78636856 -1.15498991 102.351379 -66.176047
    Unten rechts KachelX + 1 102802 KachelY + 1 97998 1.78641650 -1.15498991 102.354126 -66.176047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15497055--1.15498991) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dl = 123.342560000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15497055--1.15498991) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dr = 123.342560000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78636856-1.78641650) × cos(-1.15497055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403945474652764 × 6371000     		do = 123.375345515391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78636856-1.78641650) × cos(-1.15498991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403927764376952 × 6371000     		du = 123.369936341295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15497055)-sin(-1.15498991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403945474652764-0.403927764376952)×R²
    abs(1.78641650-1.78636856)×1.7710275812155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7710275812155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7710275812155e-05×40589641000000     		ar = 15217.097366397m²