Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102799 / 98319
↖ ↑ ↗
← S 66.529674°
E102.345886°		 ← 121.64 m → S 66.529674°
E102.348633°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.530768°
E102.345886°		 ← 121.64 m →
14 794 m²		 S 66.530768°
E102.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784297943115234 y=0.750118255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784297943115234 × 217)
    floor (0.784297943115234 × 131072)
    floor (102799.5)     		tx = 102799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750118255615234 × 217)
    floor (0.750118255615234 × 131072)
    floor (98319.5)     		ty = 98319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102799 / 98319 ti = "17/102799/98319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102799/98319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102799 ÷ 217
    102799 ÷ 131072     		x = 0.784294128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98319 ÷ 217
    98319 ÷ 131072     		y = 0.750114440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784294128417969 × 2 - 1) × π
    0.568588256835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.78627269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750114440917969 × 2 - 1) × π
    -0.500228881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5715153802443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78627269} λ = 1.78627269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5715153802443))-π/2
    2×atan(0.207730153552254)-π/2
    2×0.204817230515516-π/2
    0.409634461031033-1.57079632675     		φ = -1.16116187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78627269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.345886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16116187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.529674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102799 KachelY 98319 1.78627269 -1.16116187 102.345886 -66.529674
    Oben rechts KachelX + 1 102800 KachelY 98319 1.78632063 -1.16116187 102.348633 -66.529674
    Unten links KachelX 102799 KachelY + 1 98320 1.78627269 -1.16118096 102.345886 -66.530768
    Unten rechts KachelX + 1 102800 KachelY + 1 98320 1.78632063 -1.16118096 102.348633 -66.530768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16116187--1.16118096) × R
    1.90900000001104e-05 × 6371000     		dl = 121.622390000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16116187--1.16118096) × R
    1.90900000001104e-05 × 6371000     		dr = 121.622390000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78627269-1.78632063) × cos(-1.16116187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398274054075395 × 6371000     		do = 121.643147688698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78627269-1.78632063) × cos(-1.16118096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398256543385904 × 6371000     		du = 121.637799473402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16116187)-sin(-1.16118096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398274054075395-0.398256543385904)×R²
    abs(1.78632063-1.78627269)×1.75106894914623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75106894914623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75106894914623e-05×40589641000000     		ar = 14794.2051181831m²