Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102798 / 96292
↖ ↑ ↗
← S 64.211157°
E102.343139°		 ← 132.88 m → S 64.211157°
E102.345886°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
S 64.212352°
E102.343139°		 ← 132.87 m →
17 659 m²		 S 64.212352°
E102.345886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784290313720703 y=0.734653472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784290313720703 × 217)
    floor (0.784290313720703 × 131072)
    floor (102798.5)     		tx = 102798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734653472900391 × 217)
    floor (0.734653472900391 × 131072)
    floor (96292.5)     		ty = 96292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102798 / 96292 ti = "17/102798/96292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102798/96292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102798 ÷ 217
    102798 ÷ 131072     		x = 0.784286499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96292 ÷ 217
    96292 ÷ 131072     		y = 0.734649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784286499023438 × 2 - 1) × π
    0.568572998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78622475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.46929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47434728471445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78622475} λ = 1.78622475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47434728471445))-π/2
    2×atan(0.228928103162108)-π/2
    2×0.225050107520446-π/2
    0.450100215040892-1.57079632675     		φ = -1.12069611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78622475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.343139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12069611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.211157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102798 KachelY 96292 1.78622475 -1.12069611 102.343139 -64.211157
    Oben rechts KachelX + 1 102799 KachelY 96292 1.78627269 -1.12069611 102.345886 -64.211157
    Unten links KachelX 102798 KachelY + 1 96293 1.78622475 -1.12071697 102.343139 -64.212352
    Unten rechts KachelX + 1 102799 KachelY + 1 96293 1.78627269 -1.12071697 102.345886 -64.212352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12069611--1.12071697) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12069611--1.12071697) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78622475-1.78627269) × cos(-1.12069611) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.435055771849383 × 6371000     		do = 132.877231058897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78622475-1.78627269) × cos(-1.12071697) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.435036989337574 × 6371000     		du = 132.871494396329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12069611)-sin(-1.12071697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435055771849383-0.435036989337574)×R²
    abs(1.78627269-1.78622475)×1.87825118092566e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.87825118092566e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.87825118092566e-05×40589641000000     		ar = 17658.8779051739m²