Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102797 / 96331
↖ ↑ ↗
← S 64.257720°
E102.340393°		 ← 132.63 m → S 64.257720°
E102.343139°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.258913°
E102.340393°		 ← 132.62 m →
17 592 m²		 S 64.258913°
E102.343139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784282684326172 y=0.734951019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784282684326172 × 217)
    floor (0.784282684326172 × 131072)
    floor (102797.5)     		tx = 102797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734951019287109 × 217)
    floor (0.734951019287109 × 131072)
    floor (96331.5)     		ty = 96331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102797 / 96331 ti = "17/102797/96331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102797/96331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102797 ÷ 217
    102797 ÷ 131072     		x = 0.784278869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96331 ÷ 217
    96331 ÷ 131072     		y = 0.734947204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784278869628906 × 2 - 1) × π
    0.568557739257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.78617682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734947204589844 × 2 - 1) × π
    -0.469894409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.47621682379963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78617682} λ = 1.78617682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47621682379963))-π/2
    2×atan(0.228500512948401)-π/2
    2×0.224643772777474-π/2
    0.449287545554947-1.57079632675     		φ = -1.12150878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78617682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.340393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12150878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.257720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102797 KachelY 96331 1.78617682 -1.12150878 102.340393 -64.257720
    Oben rechts KachelX + 1 102798 KachelY 96331 1.78622475 -1.12150878 102.343139 -64.257720
    Unten links KachelX 102797 KachelY + 1 96332 1.78617682 -1.12152960 102.340393 -64.258913
    Unten rechts KachelX + 1 102798 KachelY + 1 96332 1.78622475 -1.12152960 102.343139 -64.258913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12150878--1.12152960) × R
    2.08199999998104e-05 × 6371000     		dl = 132.644219998792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12150878--1.12152960) × R
    2.08199999998104e-05 × 6371000     		dr = 132.644219998792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78617682-1.78622475) × cos(-1.12150878) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.434323897349426 × 6371000     		do = 132.626026971599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78617682-1.78622475) × cos(-1.12152960) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.434305143499417 × 6371000     		du = 132.62030025789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12150878)-sin(-1.12152960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434323897349426-0.434305143499417)×R²
    abs(1.78622475-1.78617682)×1.87538500083795e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.87538500083795e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.87538500083795e-05×40589641000000     		ar = 17591.6960922481m²