Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102796 / 97972
↖ ↑ ↗
← S 66.147186°
E102.337646°		 ← 123.51 m → S 66.147186°
E102.340393°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.148297°
E102.337646°		 ← 123.51 m →
15 257 m²		 S 66.148297°
E102.340393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784275054931641 y=0.747470855712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784275054931641 × 217)
    floor (0.784275054931641 × 131072)
    floor (102796.5)     		tx = 102796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747470855712891 × 217)
    floor (0.747470855712891 × 131072)
    floor (97972.5)     		ty = 97972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102796 / 97972 ti = "17/102796/97972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102796/97972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102796 ÷ 217
    102796 ÷ 131072     		x = 0.784271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97972 ÷ 217
    97972 ÷ 131072     		y = 0.747467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784271240234375 × 2 - 1) × π
    0.56854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78612888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.49493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55488127607614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78612888} λ = 1.78612888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55488127607614))-π/2
    2×atan(0.211214457361611)-π/2
    2×0.208155071567335-π/2
    0.416310143134671-1.57079632675     		φ = -1.15448618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78612888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.337646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15448618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.147186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102796 KachelY 97972 1.78612888 -1.15448618 102.337646 -66.147186
    Oben rechts KachelX + 1 102797 KachelY 97972 1.78617682 -1.15448618 102.340393 -66.147186
    Unten links KachelX 102796 KachelY + 1 97973 1.78612888 -1.15450557 102.337646 -66.148297
    Unten rechts KachelX + 1 102797 KachelY + 1 97973 1.78617682 -1.15450557 102.340393 -66.148297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15448618--1.15450557) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dl = 123.533690000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15448618--1.15450557) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dr = 123.533690000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78612888-1.78617682) × cos(-1.15448618) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404388520722279 × 6371000     		do = 123.510663189598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78612888-1.78617682) × cos(-1.15450557) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404370786798567 × 6371000     		du = 123.505246792826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15448618)-sin(-1.15450557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404388520722279-0.404370786798567)×R²
    abs(1.78617682-1.78612888)×1.77339237121821e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77339237121821e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77339237121821e-05×40589641000000     		ar = 15257.3934250845m²