Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102795 / 96327
↖ ↑ ↗
← S 64.252948°
E102.334900°		 ← 132.68 m → S 64.252948°
E102.337646°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
S 64.254141°
E102.334900°		 ← 132.67 m →
17 607 m²		 S 64.254141°
E102.337646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784267425537109 y=0.734920501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784267425537109 × 217)
    floor (0.784267425537109 × 131072)
    floor (102795.5)     		tx = 102795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734920501708984 × 217)
    floor (0.734920501708984 × 131072)
    floor (96327.5)     		ty = 96327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102795 / 96327 ti = "17/102795/96327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102795/96327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102795 ÷ 217
    102795 ÷ 131072     		x = 0.784263610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96327 ÷ 217
    96327 ÷ 131072     		y = 0.734916687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784263610839844 × 2 - 1) × π
    0.568527221679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.78608094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734916687011719 × 2 - 1) × π
    -0.469833374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47602507620115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78608094} λ = 1.78608094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47602507620115))-π/2
    2×atan(0.228544331573934)-π/2
    2×0.224685416655677-π/2
    0.449370833311354-1.57079632675     		φ = -1.12142549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78608094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.334900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12142549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.252948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102795 KachelY 96327 1.78608094 -1.12142549 102.334900 -64.252948
    Oben rechts KachelX + 1 102796 KachelY 96327 1.78612888 -1.12142549 102.337646 -64.252948
    Unten links KachelX 102795 KachelY + 1 96328 1.78608094 -1.12144632 102.334900 -64.254141
    Unten rechts KachelX + 1 102796 KachelY + 1 96328 1.78612888 -1.12144632 102.337646 -64.254141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12142549--1.12144632) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12142549--1.12144632) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78608094-1.78612888) × cos(-1.12142549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43439891987391 × 6371000     		do = 132.676611557603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78608094-1.78612888) × cos(-1.12144632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434380157769814 × 6371000     		du = 132.670881128075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12142549)-sin(-1.12144632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43439891987391-0.434380157769814)×R²
    abs(1.78612888-1.78608094)×1.87621040959596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87621040959596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87621040959596e-05×40589641000000     		ar = 17606.8582431392m²