Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102792 / 96413
↖ ↑ ↗
← S 64.355365°
E102.326660°		 ← 132.18 m → S 64.355365°
E102.329407°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.356554°
E102.326660°		 ← 132.18 m →
17 474 m²		 S 64.356554°
E102.329407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784244537353516 y=0.735576629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784244537353516 × 217)
    floor (0.784244537353516 × 131072)
    floor (102792.5)     		tx = 102792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735576629638672 × 217)
    floor (0.735576629638672 × 131072)
    floor (96413.5)     		ty = 96413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102792 / 96413 ti = "17/102792/96413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102792/96413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102792 ÷ 217
    102792 ÷ 131072     		x = 0.78424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96413 ÷ 217
    96413 ÷ 131072     		y = 0.735572814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78424072265625 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735572814941406 × 2 - 1) × π
    -0.471145629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.48014764956847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78593713} λ = 1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48014764956847))-π/2
    2×atan(0.227604080258528)-π/2
    2×0.223791656850672-π/2
    0.447583313701344-1.57079632675     		φ = -1.12321301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12321301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.355365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102792 KachelY 96413 1.78593713 -1.12321301 102.326660 -64.355365
    Oben rechts KachelX + 1 102793 KachelY 96413 1.78598507 -1.12321301 102.329407 -64.355365
    Unten links KachelX 102792 KachelY + 1 96414 1.78593713 -1.12323376 102.326660 -64.356554
    Unten rechts KachelX + 1 102793 KachelY + 1 96414 1.78598507 -1.12323376 102.329407 -64.356554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12321301--1.12323376) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12321301--1.12323376) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78593713-1.78598507) × cos(-1.12321301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432788170663548 × 6371000     		do = 132.184647288074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78593713-1.78598507) × cos(-1.12323376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432769464535728 × 6371000     		du = 132.178933955142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12321301)-sin(-1.12323376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432788170663548-0.432769464535728)×R²
    abs(1.78598507-1.78593713)×1.87061278194567e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87061278194567e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87061278194567e-05×40589641000000     		ar = 17474.2014025752m²