Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102792 / 96323
↖ ↑ ↗
← S 64.248175°
E102.326660°		 ← 132.70 m → S 64.248175°
E102.329407°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
S 64.249368°
E102.326660°		 ← 132.69 m →
17 610 m²		 S 64.249368°
E102.329407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784244537353516 y=0.734889984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784244537353516 × 217)
    floor (0.784244537353516 × 131072)
    floor (102792.5)     		tx = 102792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734889984130859 × 217)
    floor (0.734889984130859 × 131072)
    floor (96323.5)     		ty = 96323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102792 / 96323 ti = "17/102792/96323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102792/96323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102792 ÷ 217
    102792 ÷ 131072     		x = 0.78424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96323 ÷ 217
    96323 ÷ 131072     		y = 0.734886169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78424072265625 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734886169433594 × 2 - 1) × π
    -0.469772338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.47583332860267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78593713} λ = 1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47583332860267))-π/2
    2×atan(0.228588158602389)-π/2
    2×0.224727067726858-π/2
    0.449454135453716-1.57079632675     		φ = -1.12134219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12134219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.248175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102792 KachelY 96323 1.78593713 -1.12134219 102.326660 -64.248175
    Oben rechts KachelX + 1 102793 KachelY 96323 1.78598507 -1.12134219 102.329407 -64.248175
    Unten links KachelX 102792 KachelY + 1 96324 1.78593713 -1.12136302 102.326660 -64.249368
    Unten rechts KachelX + 1 102793 KachelY + 1 96324 1.78598507 -1.12136302 102.329407 -64.249368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12134219--1.12136302) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12134219--1.12136302) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78593713-1.78598507) × cos(-1.12134219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434473948391716 × 6371000     		do = 132.699527198175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78593713-1.78598507) × cos(-1.12136302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434455187041411 × 6371000     		du = 132.693796998874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12134219)-sin(-1.12136302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434473948391716-0.434455187041411)×R²
    abs(1.78598507-1.78593713)×1.87613503046524e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87613503046524e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87613503046524e-05×40589641000000     		ar = 17609.8993455847m²