Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102789 / 96316
↖ ↑ ↗
← S 64.239821°
E102.318420°		 ← 132.74 m → S 64.239821°
E102.321167°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
S 64.241014°
E102.318420°		 ← 132.73 m →
17 615 m²		 S 64.241014°
E102.321167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784221649169922 y=0.734836578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784221649169922 × 217)
    floor (0.784221649169922 × 131072)
    floor (102789.5)     		tx = 102789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734836578369141 × 217)
    floor (0.734836578369141 × 131072)
    floor (96316.5)     		ty = 96316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102789 / 96316 ti = "17/102789/96316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102789/96316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102789 ÷ 217
    102789 ÷ 131072     		x = 0.784217834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96316 ÷ 217
    96316 ÷ 131072     		y = 0.734832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784217834472656 × 2 - 1) × π
    0.568435668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.78579332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.46966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47549777030533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78579332} λ = 1.78579332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47549777030533))-π/2
    2×atan(0.228664876126563)-π/2
    2×0.224799974412394-π/2
    0.449599948824788-1.57079632675     		φ = -1.12119638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78579332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.318420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12119638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.239821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102789 KachelY 96316 1.78579332 -1.12119638 102.318420 -64.239821
    Oben rechts KachelX + 1 102790 KachelY 96316 1.78584126 -1.12119638 102.321167 -64.239821
    Unten links KachelX 102789 KachelY + 1 96317 1.78579332 -1.12121721 102.318420 -64.241014
    Unten rechts KachelX + 1 102790 KachelY + 1 96317 1.78584126 -1.12121721 102.321167 -64.241014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12119638--1.12121721) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12119638--1.12121721) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78579332-1.78584126) × cos(-1.12119638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434605272565017 × 6371000     		do = 132.739636980985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78579332-1.78584126) × cos(-1.12121721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434586512534477 × 6371000     		du = 132.733907184775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12119638)-sin(-1.12121721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434605272565017-0.434586512534477)×R²
    abs(1.78584126-1.78579332)×1.87600305396884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87600305396884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87600305396884e-05×40589641000000     		ar = 17615.2222585784m²