Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102783 / 96386
↖ ↑ ↗
← S 64.323252°
E102.301941°		 ← 132.34 m → S 64.323252°
E102.304688°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
S 64.324442°
E102.301941°		 ← 132.33 m →
17 511 m²		 S 64.324442°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784175872802734 y=0.735370635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784175872802734 × 217)
    floor (0.784175872802734 × 131072)
    floor (102783.5)     		tx = 102783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735370635986328 × 217)
    floor (0.735370635986328 × 131072)
    floor (96386.5)     		ty = 96386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102783 / 96386 ti = "17/102783/96386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102783/96386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102783 ÷ 217
    102783 ÷ 131072     		x = 0.784172058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96386 ÷ 217
    96386 ÷ 131072     		y = 0.735366821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784172058105469 × 2 - 1) × π
    0.568344116210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.78550570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735366821289062 × 2 - 1) × π
    -0.470733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47885335327873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78550570} λ = 1.78550570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47885335327873))-π/2
    2×atan(0.227898858098918)-π/2
    2×0.224071898357422-π/2
    0.448143796714843-1.57079632675     		φ = -1.12265253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78550570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.301941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12265253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.323252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102783 KachelY 96386 1.78550570 -1.12265253 102.301941 -64.323252
    Oben rechts KachelX + 1 102784 KachelY 96386 1.78555364 -1.12265253 102.304688 -64.323252
    Unten links KachelX 102783 KachelY + 1 96387 1.78550570 -1.12267330 102.301941 -64.324442
    Unten rechts KachelX + 1 102784 KachelY + 1 96387 1.78555364 -1.12267330 102.304688 -64.324442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12265253--1.12267330) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dl = 132.325669999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12265253--1.12267330) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dr = 132.325669999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78550570-1.78555364) × cos(-1.12265253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433293372939065 × 6371000     		do = 132.338949066923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78550570-1.78555364) × cos(-1.12267330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433274653822146 × 6371000     		du = 132.333231766786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12265253)-sin(-1.12267330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433293372939065-0.433274653822146)×R²
    abs(1.78555364-1.78550570)×1.8719116919752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8719116919752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8719116919752e-05×40589641000000     		ar = 17511.4618300407m²