Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102780 / 99418
↖ ↑ ↗
← S 67.703194°
E102.293701°		 ← 115.88 m → S 67.703194°
E102.296448°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.704236°
E102.293701°		 ← 115.87 m →
13 429 m²		 S 67.704236°
E102.296448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784152984619141 y=0.758502960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784152984619141 × 217)
    floor (0.784152984619141 × 131072)
    floor (102780.5)     		tx = 102780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758502960205078 × 217)
    floor (0.758502960205078 × 131072)
    floor (99418.5)     		ty = 99418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102780 / 99418 ti = "17/102780/99418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102780/99418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102780 ÷ 217
    102780 ÷ 131072     		x = 0.784149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99418 ÷ 217
    99418 ÷ 131072     		y = 0.758499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784149169921875 × 2 - 1) × π
    0.56829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78536189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758499145507812 × 2 - 1) × π
    -0.516998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62419803292674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78536189} λ = 1.78536189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62419803292674))-π/2
    2×atan(0.197069655222967)-π/2
    2×0.194576339396851-π/2
    0.389152678793703-1.57079632675     		φ = -1.18164365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78536189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18164365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.703194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102780 KachelY 99418 1.78536189 -1.18164365 102.293701 -67.703194
    Oben rechts KachelX + 1 102781 KachelY 99418 1.78540983 -1.18164365 102.296448 -67.703194
    Unten links KachelX 102780 KachelY + 1 99419 1.78536189 -1.18166184 102.293701 -67.704236
    Unten rechts KachelX + 1 102781 KachelY + 1 99419 1.78540983 -1.18166184 102.296448 -67.704236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18164365--1.18166184) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18164365--1.18166184) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78536189-1.78540983) × cos(-1.18164365) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.379404581828525 × 6371000     		do = 115.879925164829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78536189-1.78540983) × cos(-1.18166184) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.379387751816228 × 6371000     		du = 115.874784845869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18164365)-sin(-1.18166184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379404581828525-0.379387751816228)×R²
    abs(1.78540983-1.78536189)×1.68300122971865e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68300122971865e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68300122971865e-05×40589641000000     		ar = 13428.8516970934m²