Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10278 / 6181
↖ ↑ ↗
← N 81.061691°
W123.541259°		 ← 94.90 m → N 81.061691°
W123.535767°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
N 81.060837°
W123.541259°		 ← 94.91 m →
9 009 m²		 N 81.060837°
W123.535767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156837463378906 y=0.0943222045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156837463378906 × 216)
    floor (0.156837463378906 × 65536)
    floor (10278.5)     		tx = 10278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943222045898438 × 216)
    floor (0.0943222045898438 × 65536)
    floor (6181.5)     		ty = 6181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10278 / 6181 ti = "16/10278/6181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10278/6181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10278 ÷ 216
    10278 ÷ 65536     		x = 0.156829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6181 ÷ 216
    6181 ÷ 65536     		y = 0.0943145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.68634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15620174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943145751953125 × 2 - 1) × π
    0.811370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54899670039687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15620174} λ = -2.15620174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54899670039687))-π/2
    2×atan(12.7942608642454)-π/2
    2×1.49279486103823-π/2
    2.98558972207645-1.57079632675     		φ = 1.41479340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15620174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.541259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41479340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.061691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10278 KachelY 6181 -2.15620174 1.41479340 -123.541259 81.061691
    Oben rechts KachelX + 1 10279 KachelY 6181 -2.15610587 1.41479340 -123.535767 81.061691
    Unten links KachelX 10278 KachelY + 1 6182 -2.15620174 1.41477850 -123.541259 81.060837
    Unten rechts KachelX + 1 10279 KachelY + 1 6182 -2.15610587 1.41477850 -123.535767 81.060837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41479340-1.41477850) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41479340-1.41477850) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15620174--2.15610587) × cos(1.41479340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		do = 94.8986606327856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15620174--2.15610587) × cos(1.41477850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155385643760524 × 6371000     		du = 94.9076508425025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41479340)-sin(1.41477850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155370924720362-0.155385643760524)×R²
    abs(-2.15610587--2.15620174)×1.47190401617592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47190401617592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47190401617592e-05×40589641000000     		ar = 9008.95727772014m²