Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102777 / 99440
↖ ↑ ↗
← S 67.726108°
E102.285461°		 ← 115.77 m → S 67.726108°
E102.288208°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.727149°
E102.285461°		 ← 115.76 m →
13 401 m²		 S 67.727149°
E102.288208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784130096435547 y=0.758670806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784130096435547 × 217)
    floor (0.784130096435547 × 131072)
    floor (102777.5)     		tx = 102777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758670806884766 × 217)
    floor (0.758670806884766 × 131072)
    floor (99440.5)     		ty = 99440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102777 / 99440 ti = "17/102777/99440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102777/99440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102777 ÷ 217
    102777 ÷ 131072     		x = 0.784126281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99440 ÷ 217
    99440 ÷ 131072     		y = 0.7586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784126281738281 × 2 - 1) × π
    0.568252563476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.78521808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.517333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62525264471838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78521808} λ = 1.78521808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62525264471838))-π/2
    2×atan(0.196861932793309)-π/2
    2×0.19437637470289-π/2
    0.38875274940578-1.57079632675     		φ = -1.18204358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78521808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.285461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18204358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.726108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102777 KachelY 99440 1.78521808 -1.18204358 102.285461 -67.726108
    Oben rechts KachelX + 1 102778 KachelY 99440 1.78526602 -1.18204358 102.288208 -67.726108
    Unten links KachelX 102777 KachelY + 1 99441 1.78521808 -1.18206175 102.285461 -67.727149
    Unten rechts KachelX + 1 102778 KachelY + 1 99441 1.78526602 -1.18206175 102.288208 -67.727149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18204358--1.18206175) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18204358--1.18206175) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78521808-1.78526602) × cos(-1.18204358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379034523914701 × 6371000     		do = 115.766899952119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78521808-1.78526602) × cos(-1.18206175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379017709651535 × 6371000     		du = 115.761764443349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18204358)-sin(-1.18206175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379034523914701-0.379017709651535)×R²
    abs(1.78526602-1.78521808)×1.68142631660206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68142631660206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68142631660206e-05×40589641000000     		ar = 13401.0029635382m²