Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102775 / 99439
↖ ↑ ↗
← S 67.725067°
E102.279968°		 ← 115.77 m → S 67.725067°
E102.282715°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.726108°
E102.279968°		 ← 115.77 m →
13 402 m²		 S 67.726108°
E102.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784114837646484 y=0.758663177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784114837646484 × 217)
    floor (0.784114837646484 × 131072)
    floor (102775.5)     		tx = 102775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758663177490234 × 217)
    floor (0.758663177490234 × 131072)
    floor (99439.5)     		ty = 99439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102775 / 99439 ti = "17/102775/99439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102775/99439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102775 ÷ 217
    102775 ÷ 131072     		x = 0.784111022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99439 ÷ 217
    99439 ÷ 131072     		y = 0.758659362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784111022949219 × 2 - 1) × π
    0.568222045898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.78512220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758659362792969 × 2 - 1) × π
    -0.517318725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62520470781876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78512220} λ = 1.78512220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62520470781876))-π/2
    2×atan(0.196871369970213)-π/2
    2×0.194385459774415-π/2
    0.388770919548831-1.57079632675     		φ = -1.18202541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78512220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.279968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18202541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.725067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102775 KachelY 99439 1.78512220 -1.18202541 102.279968 -67.725067
    Oben rechts KachelX + 1 102776 KachelY 99439 1.78517014 -1.18202541 102.282715 -67.725067
    Unten links KachelX 102775 KachelY + 1 99440 1.78512220 -1.18204358 102.279968 -67.726108
    Unten rechts KachelX + 1 102776 KachelY + 1 99440 1.78517014 -1.18204358 102.282715 -67.726108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18202541--1.18204358) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18202541--1.18204358) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78512220-1.78517014) × cos(-1.18202541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379051338052729 × 6371000     		do = 115.772035422669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78512220-1.78517014) × cos(-1.18204358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379034523914701 × 6371000     		du = 115.766899952119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18202541)-sin(-1.18204358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379051338052729-0.379034523914701)×R²
    abs(1.78517014-1.78512220)×1.68141380281761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68141380281761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68141380281761e-05×40589641000000     		ar = 13401.5974529496m²