Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102774 / 99462
↖ ↑ ↗
← S 67.749000°
E102.277222°		 ← 115.63 m → S 67.749000°
E102.279968°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.750040°
E102.277222°		 ← 115.62 m →
13 370 m²		 S 67.750040°
E102.279968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784107208251953 y=0.758838653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784107208251953 × 217)
    floor (0.784107208251953 × 131072)
    floor (102774.5)     		tx = 102774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758838653564453 × 217)
    floor (0.758838653564453 × 131072)
    floor (99462.5)     		ty = 99462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102774 / 99462 ti = "17/102774/99462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102774/99462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102774 ÷ 217
    102774 ÷ 131072     		x = 0.784103393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99462 ÷ 217
    99462 ÷ 131072     		y = 0.758834838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784103393554688 × 2 - 1) × π
    0.568206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78507427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758834838867188 × 2 - 1) × π
    -0.517669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62630725651002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78507427} λ = 1.78507427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62630725651002))-π/2
    2×atan(0.1966544293147)-π/2
    2×0.194176605063137-π/2
    0.388353210126274-1.57079632675     		φ = -1.18244312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78507427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18244312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.749000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102774 KachelY 99462 1.78507427 -1.18244312 102.277222 -67.749000
    Oben rechts KachelX + 1 102775 KachelY 99462 1.78512220 -1.18244312 102.279968 -67.749000
    Unten links KachelX 102774 KachelY + 1 99463 1.78507427 -1.18246127 102.277222 -67.750040
    Unten rechts KachelX + 1 102775 KachelY + 1 99463 1.78512220 -1.18246127 102.279968 -67.750040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18244312--1.18246127) × R
    1.8149999999828e-05 × 6371000     		dl = 115.633649998904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18244312--1.18246127) × R
    1.8149999999828e-05 × 6371000     		dr = 115.633649998904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78507427-1.78512220) × cos(-1.18244312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378664766334827 × 6371000     		do = 115.629841737549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78507427-1.78512220) × cos(-1.18246127) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378647967832225 × 6371000     		du = 115.624712112694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18244312)-sin(-1.18246127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378664766334827-0.378647967832225)×R²
    abs(1.78512220-1.78507427)×1.67985026022222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67985026022222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67985026022222e-05×40589641000000     		ar = 13370.4040705707m²