Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102772 / 99460
↖ ↑ ↗
← S 67.746920°
E102.271728°		 ← 115.66 m → S 67.746920°
E102.274475°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.747960°
E102.271728°		 ← 115.66 m →
13 374 m²		 S 67.747960°
E102.274475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784091949462891 y=0.758823394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784091949462891 × 217)
    floor (0.784091949462891 × 131072)
    floor (102772.5)     		tx = 102772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758823394775391 × 217)
    floor (0.758823394775391 × 131072)
    floor (99460.5)     		ty = 99460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102772 / 99460 ti = "17/102772/99460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102772/99460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102772 ÷ 217
    102772 ÷ 131072     		x = 0.784088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99460 ÷ 217
    99460 ÷ 131072     		y = 0.758819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784088134765625 × 2 - 1) × π
    0.56817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78497839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.51763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62621138271078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78497839} λ = 1.78497839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62621138271078))-π/2
    2×atan(0.196673284225807)-π/2
    2×0.194194757883552-π/2
    0.388389515767105-1.57079632675     		φ = -1.18240681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78497839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.271728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18240681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.746920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102772 KachelY 99460 1.78497839 -1.18240681 102.271728 -67.746920
    Oben rechts KachelX + 1 102773 KachelY 99460 1.78502633 -1.18240681 102.274475 -67.746920
    Unten links KachelX 102772 KachelY + 1 99461 1.78497839 -1.18242496 102.271728 -67.747960
    Unten rechts KachelX + 1 102773 KachelY + 1 99461 1.78502633 -1.18242496 102.274475 -67.747960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18240681--1.18242496) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18240681--1.18242496) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78497839-1.78502633) × cos(-1.18240681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378698372221005 × 6371000     		do = 115.66423057232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78497839-1.78502633) × cos(-1.18242496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378681573967959 × 6371000     		du = 115.659099953453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18240681)-sin(-1.18242496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378698372221005-0.378681573967959)×R²
    abs(1.78502633-1.78497839)×1.67982530467348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67982530467348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67982530467348e-05×40589641000000     		ar = 13374.3805197852m²