Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102772 / 99447
↖ ↑ ↗
← S 67.733395°
E102.271728°		 ← 115.73 m → S 67.733395°
E102.274475°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.734435°
E102.271728°		 ← 115.73 m →
13 389 m²		 S 67.734435°
E102.274475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784091949462891 y=0.758724212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784091949462891 × 217)
    floor (0.784091949462891 × 131072)
    floor (102772.5)     		tx = 102772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758724212646484 × 217)
    floor (0.758724212646484 × 131072)
    floor (99447.5)     		ty = 99447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102772 / 99447 ti = "17/102772/99447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102772/99447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102772 ÷ 217
    102772 ÷ 131072     		x = 0.784088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99447 ÷ 217
    99447 ÷ 131072     		y = 0.758720397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784088134765625 × 2 - 1) × π
    0.56817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78497839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758720397949219 × 2 - 1) × π
    -0.517440795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62558820301572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78497839} λ = 1.78497839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62558820301572))-π/2
    2×atan(0.196795885220355)-π/2
    2×0.194312790485507-π/2
    0.388625580971014-1.57079632675     		φ = -1.18217075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78497839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.271728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18217075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.733395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102772 KachelY 99447 1.78497839 -1.18217075 102.271728 -67.733395
    Oben rechts KachelX + 1 102773 KachelY 99447 1.78502633 -1.18217075 102.274475 -67.733395
    Unten links KachelX 102772 KachelY + 1 99448 1.78497839 -1.18218891 102.271728 -67.734435
    Unten rechts KachelX + 1 102773 KachelY + 1 99448 1.78502633 -1.18218891 102.274475 -67.734435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18217075--1.18218891) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18217075--1.18218891) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78497839-1.78502633) × cos(-1.18217075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37891683995357 × 6371000     		do = 115.730956241205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78497839-1.78502633) × cos(-1.18218891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378900034069108 × 6371000     		du = 115.725823291507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18217075)-sin(-1.18218891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37891683995357-0.378900034069108)×R²
    abs(1.78502633-1.78497839)×1.68058844616792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68058844616792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68058844616792e-05×40589641000000     		ar = 13389.469173455m²