Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102771 / 99445
↖ ↑ ↗
← S 67.731313°
E102.268982°		 ← 115.72 m → S 67.731313°
E102.271728°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.732354°
E102.268982°		 ← 115.71 m →
13 388 m²		 S 67.732354°
E102.271728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784084320068359 y=0.758708953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784084320068359 × 217)
    floor (0.784084320068359 × 131072)
    floor (102771.5)     		tx = 102771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758708953857422 × 217)
    floor (0.758708953857422 × 131072)
    floor (99445.5)     		ty = 99445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102771 / 99445 ti = "17/102771/99445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102771/99445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102771 ÷ 217
    102771 ÷ 131072     		x = 0.784080505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99445 ÷ 217
    99445 ÷ 131072     		y = 0.758705139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784080505371094 × 2 - 1) × π
    0.568161010742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.78493046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758705139160156 × 2 - 1) × π
    -0.517410278320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62549232921648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78493046} λ = 1.78493046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62549232921648))-π/2
    2×atan(0.196814753694028)-π/2
    2×0.194330955390034-π/2
    0.388661910780068-1.57079632675     		φ = -1.18213442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78493046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.268982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18213442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.731313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102771 KachelY 99445 1.78493046 -1.18213442 102.268982 -67.731313
    Oben rechts KachelX + 1 102772 KachelY 99445 1.78497839 -1.18213442 102.271728 -67.731313
    Unten links KachelX 102771 KachelY + 1 99446 1.78493046 -1.18215258 102.268982 -67.732354
    Unten rechts KachelX + 1 102772 KachelY + 1 99446 1.78497839 -1.18215258 102.271728 -67.732354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18213442--1.18215258) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18213442--1.18215258) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78493046-1.78497839) × cos(-1.18213442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378950460601773 × 6371000     		do = 115.717081918863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78493046-1.78497839) × cos(-1.18215258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378933654967309 × 6371000     		du = 115.711950116208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18213442)-sin(-1.18215258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378950460601773-0.378933654967309)×R²
    abs(1.78497839-1.78493046)×1.68056344647116e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68056344647116e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68056344647116e-05×40589641000000     		ar = 13387.8640171918m²