Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102768 / 99444
↖ ↑ ↗
← S 67.730272°
E102.260742°		 ← 115.72 m → S 67.730272°
E102.263489°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.731313°
E102.260742°		 ← 115.72 m →
13 396 m²		 S 67.731313°
E102.263489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784061431884766 y=0.758701324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784061431884766 × 217)
    floor (0.784061431884766 × 131072)
    floor (102768.5)     		tx = 102768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758701324462891 × 217)
    floor (0.758701324462891 × 131072)
    floor (99444.5)     		ty = 99444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102768 / 99444 ti = "17/102768/99444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102768/99444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102768 ÷ 217
    102768 ÷ 131072     		x = 0.7840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99444 ÷ 217
    99444 ÷ 131072     		y = 0.758697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7840576171875 × 2 - 1) × π
    0.568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78478665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.51739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62544439231686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78478665} λ = 1.78478665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62544439231686))-π/2
    2×atan(0.196824188609258)-π/2
    2×0.194340038446685-π/2
    0.388680076893371-1.57079632675     		φ = -1.18211625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78478665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18211625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.730272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102768 KachelY 99444 1.78478665 -1.18211625 102.260742 -67.730272
    Oben rechts KachelX + 1 102769 KachelY 99444 1.78483458 -1.18211625 102.263489 -67.730272
    Unten links KachelX 102768 KachelY + 1 99445 1.78478665 -1.18213442 102.260742 -67.731313
    Unten rechts KachelX + 1 102769 KachelY + 1 99445 1.78483458 -1.18213442 102.263489 -67.731313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18211625--1.18213442) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18211625--1.18213442) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78478665-1.78483458) × cos(-1.18211625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378967275365366 × 6371000     		do = 115.722216509208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78478665-1.78483458) × cos(-1.18213442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378950460601773 × 6371000     		du = 115.717081918863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18211625)-sin(-1.18213442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378967275365366-0.378950460601773)×R²
    abs(1.78483458-1.78478665)×1.68147635929428e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68147635929428e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68147635929428e-05×40589641000000     		ar = 13395.8304133263m²