Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102765 / 99887
↖ ↑ ↗
← S 68.186869°
E102.252503°		 ← 113.47 m → S 68.186869°
E102.255249°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.187889°
E102.252503°		 ← 113.46 m →
12 874 m²		 S 68.187889°
E102.255249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784038543701172 y=0.762081146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784038543701172 × 217)
    floor (0.784038543701172 × 131072)
    floor (102765.5)     		tx = 102765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762081146240234 × 217)
    floor (0.762081146240234 × 131072)
    floor (99887.5)     		ty = 99887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102765 / 99887 ti = "17/102765/99887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102765/99887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102765 ÷ 217
    102765 ÷ 131072     		x = 0.784034729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99887 ÷ 217
    99887 ÷ 131072     		y = 0.762077331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784034729003906 × 2 - 1) × π
    0.568069458007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.78464284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762077331542969 × 2 - 1) × π
    -0.524154663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64668043884855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78464284} λ = 1.78464284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64668043884855))-π/2
    2×atan(0.192688489354046)-π/2
    2×0.190355478524284-π/2
    0.380710957048567-1.57079632675     		φ = -1.19008537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78464284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.252503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19008537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.186869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102765 KachelY 99887 1.78464284 -1.19008537 102.252503 -68.186869
    Oben rechts KachelX + 1 102766 KachelY 99887 1.78469077 -1.19008537 102.255249 -68.186869
    Unten links KachelX 102765 KachelY + 1 99888 1.78464284 -1.19010318 102.252503 -68.187889
    Unten rechts KachelX + 1 102766 KachelY + 1 99888 1.78469077 -1.19010318 102.255249 -68.187889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19008537--1.19010318) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19008537--1.19010318) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78464284-1.78469077) × cos(-1.19008537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37158061604756 × 6371000     		do = 113.466611225003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78464284-1.78469077) × cos(-1.19010318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371564081172296 × 6371000     		du = 113.461562101926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19008537)-sin(-1.19010318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37158061604756-0.371564081172296)×R²
    abs(1.78469077-1.78464284)×1.65348752638739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65348752638739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65348752638739e-05×40589641000000     		ar = 12874.4873885187m²