Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102764 / 99442
↖ ↑ ↗
← S 67.728190°
E102.249756°		 ← 115.76 m → S 67.728190°
E102.252503°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.729231°
E102.249756°		 ← 115.75 m →
13 392 m²		 S 67.729231°
E102.252503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784030914306641 y=0.758686065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784030914306641 × 217)
    floor (0.784030914306641 × 131072)
    floor (102764.5)     		tx = 102764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758686065673828 × 217)
    floor (0.758686065673828 × 131072)
    floor (99442.5)     		ty = 99442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102764 / 99442 ti = "17/102764/99442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102764/99442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102764 ÷ 217
    102764 ÷ 131072     		x = 0.784027099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99442 ÷ 217
    99442 ÷ 131072     		y = 0.758682250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784027099609375 × 2 - 1) × π
    0.56805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78459490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758682250976562 × 2 - 1) × π
    -0.517364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62534851851762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78459490} λ = 1.78459490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62534851851762))-π/2
    2×atan(0.196843059796614)-π/2
    2×0.194358205768838-π/2
    0.388716411537676-1.57079632675     		φ = -1.18207992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78459490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.249756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18207992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.728190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102764 KachelY 99442 1.78459490 -1.18207992 102.249756 -67.728190
    Oben rechts KachelX + 1 102765 KachelY 99442 1.78464284 -1.18207992 102.252503 -67.728190
    Unten links KachelX 102764 KachelY + 1 99443 1.78459490 -1.18209808 102.249756 -67.729231
    Unten rechts KachelX + 1 102765 KachelY + 1 99443 1.78464284 -1.18209808 102.252503 -67.729231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18207992--1.18209808) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18207992--1.18209808) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78459490-1.78464284) × cos(-1.18207992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379000895263237 × 6371000     		do = 115.756628896361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78459490-1.78464284) × cos(-1.18209808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378984090003844 × 6371000     		du = 115.751496137575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18207992)-sin(-1.18209808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379000895263237-0.378984090003844)×R²
    abs(1.78464284-1.78459490)×1.68052593931822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68052593931822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68052593931822e-05×40589641000000     		ar = 13392.4394428824m²