Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102760 / 100073
↖ ↑ ↗
← S 68.375912°
E102.238769°		 ← 112.55 m → S 68.375912°
E102.241516°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.376924°
E102.238769°		 ← 112.55 m →
12 663 m²		 S 68.376924°
E102.241516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784000396728516 y=0.763500213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784000396728516 × 217)
    floor (0.784000396728516 × 131072)
    floor (102760.5)     		tx = 102760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763500213623047 × 217)
    floor (0.763500213623047 × 131072)
    floor (100073.5)     		ty = 100073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102760 / 100073 ti = "17/102760/100073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102760/100073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102760 ÷ 217
    102760 ÷ 131072     		x = 0.78399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100073 ÷ 217
    100073 ÷ 131072     		y = 0.763496398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78399658203125 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78440315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763496398925781 × 2 - 1) × π
    -0.526992797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65559670217788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78440315} λ = 1.78440315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65559670217788))-π/2
    2×atan(0.190978064672381)-π/2
    2×0.188705763703301-π/2
    0.377411527406602-1.57079632675     		φ = -1.19338480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78440315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19338480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.375912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102760 KachelY 100073 1.78440315 -1.19338480 102.238769 -68.375912
    Oben rechts KachelX + 1 102761 KachelY 100073 1.78445109 -1.19338480 102.241516 -68.375912
    Unten links KachelX 102760 KachelY + 1 100074 1.78440315 -1.19340246 102.238769 -68.376924
    Unten rechts KachelX + 1 102761 KachelY + 1 100074 1.78445109 -1.19340246 102.241516 -68.376924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19338480--1.19340246) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19338480--1.19340246) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78440315-1.78445109) × cos(-1.19338480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36851540595284 × 6371000     		do = 112.554090564473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78440315-1.78445109) × cos(-1.19340246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368498988777194 × 6371000     		du = 112.549076336452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19338480)-sin(-1.19340246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36851540595284-0.368498988777194)×R²
    abs(1.78445109-1.78440315)×1.64171756460996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64171756460996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64171756460996e-05×40589641000000     		ar = 12663.3880003173m²